Corrigé du 65 P. 138

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Méthode 1.

La représentation paramétrique proposée convient si et seulement si c'est celle d'une droite passant à la fois par A et B.

Notons à chaque fois $d$ la droite dont la représentation paramétrique est donnée.

a. Regardons si $A\in d$: \[x_A = 2 + 2t \iff 0 = 2 + 2t \iff t = -1.\] Or si $t = -1$, alors \[5 + 4t = -1=y_A \quad\text{et}\quad 3 - t = 4=z_A.\] Donc $A\in d$. D'autre part \[x_B = 2 + 2t \iff 2 = 2 + 2t \iff t = 0.\] Et si $t = 0$, \[5 + 4t = 5 = y_B \quad\text{et}\quad 3 - t = 3 = z_B\] Donc $B \in d$. On en conclut que $d = (AB)$.

b. Regardons si $B\in d$: \[x_B = 2t \iff 2 = 2t \iff t = 1.\] Mais si $t = 1$: \[1 + 5t = 6 \neq y_B.\] Donc $B\notin d$ et donc $d\neq (AB)$.

c. On montre de manière analogue que $A\in d$ (quand $t=0$) et $B\in d$ (quand $t=-1$), donc que $d = (AB)$.

d. $A\in d$ (quand $t=0$) et $B\in d$ (quand $t=\frac 1 2$). Donc $d=(AB)$.

Méthode 2.

La représentation paramétrique donnée est celle de la droite si et seulement si c'est celle d'une droite passant par un point de (AB) et qu'elle admet un vecteur directeur colinéaire à $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}$.

a. Ici la droite représentée passe par le point de coordonnées $(2;5;3)$, donc le point B et admet pour vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}$ (donc le vecteur $\overrightarrow{AB}$. C'est donc bien une représentation paramétrique de la droite (AB).

b. Ici la droite représentée passe par le point de coordonnées $(0;1;4)$ (donc le point A) et admet pour vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}$.
Si $\vec u$ et $\overrightarrow{AB}$ étaient colinéaires, il existerait un réel $k$ tel que: \[k\overrightarrow{AB} = \vec u \iff \begin{cases} 2k = 2\\4k = 5\\-k=3\end{cases} \iff \begin{cases}k = 1\\k = \frac54 \\k =-3\end{cases} \] C'est impossible, donc $\vec u$ et $\overrightarrow{AB}$ ne sont pas colinéaires. Ce n'est pas une représentation paramétrique de la droite (AB).

c. Ici la droite représentée passe par le point de coordonnées $(0;1;4)$ (donc le point A) et admet pour vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix}-2\\-4\\1\end{pmatrix}$. Donc $\vec u = -\overrightarrow{AB}$.
C'est donc bien une représentation paramétrique de la droite (AB).

d. La droite représentée passe par le point de coordonnées $(0;1;4)$ (donc le point A) et admet pour vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix}4\\8\\-2\end{pmatrix}$. Donc $\vec u = 2\overrightarrow{AB}$ et cette droite est bien la droite (AB).

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