Corrigé du 53 P. 136

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a. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont pour coordonnées: \[\overrightarrow{AB}:\ \begin{pmatrix}6 + 4\\4 - 0\\-8 + 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\4\\-4\end{pmatrix}\qquad \overrightarrow{AC}:\ \begin{pmatrix}4 + 4\\-2-0\\-6 + 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\-2\\-2\end{pmatrix} \] Alors \[\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB} \iff \begin{cases} -6 = 4k\\ 4 = 2k\\ 8 = 6k \end{cases} \iff \begin{cases} k = -\frac 6 4 = -\frac 3 2\\k=2\\k=\frac 8 6 = \frac 4 3 \end{cases} \text{impossible} \] Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires, donc les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés (et définissent donc bien un unique plan $(ABC)$).

b. Puisque $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires, $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ est une base du plan $(ABC)$.
Or: \[\begin{aligned} \vec n \cdot \overrightarrow{AB} &= -2\times 4 - 17\times 2 + 7\times 6 = 0&\\ \vec n \cdot \overrightarrow{AC} &= -2\times (-6) - 17 \times 4 + 7 \times 8 =0.& \end{aligned}\] Donc $\vec n$ est bien normal au plan $(ABC)$. \item Par conséquent, un point $M(x,y,z)$ quelconque sera sur $(ABC)$ si et seulement si \[\begin{aligned} &\vec n \cdot \overrightarrow{AM} = 0&\\ \iff &-2(x-1) - 17(y+3) + 7(z - 3) = 0&\\ \iff &-2x - 2 - 17y -51 + 7z - 21 = 0&\\ \iff &-2x - 17y + 7z - 70 = 0& \end{aligned}\] Cette dernière équation est donc une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

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