Corrigé du 47 P. 136

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a. Puisque $\vec n(3;2;1)$ est un vecteur directeur du plan, il admet une équation cartésienne de la forme: \[3x + 2y + z + d = 0\] où le réel $d$ reste à déterminer. Or $A(0,0,0)$ appartient à ce plan, donc ses coordonnées en vérifient l'équation: \[3\times 0 + 2\times 0 + 0 + d = 0 \implies d= 0.\] Donc ce plan admet pour équation cartésienne: \[3x + 2y + z = 0.\]

b. Utilisons une méthode alternative… Un point $M(x,y,z)$ appartient à ce plan si et seulement si $\vec n$ est orthogonal à $\overrightarrow{AM}$, ce qui équivaut à: \[\begin{aligned} &\vec n \cdot \overrightarrow{AM} = 0&\\ \iff &4(x - 1) + (-5)(y-0) + 2(z-0) = 0&\\ \iff &4x - 4 - 5y + 2z = 0&\\ \iff &4x - 5y + 2z - 4 = 0& \end{aligned}\] Cette dernière équation est donc une équation cartésienne du plan.

c. Le plan admet pour équation \[3x + y - z + d = 0\] Or $A$ appartient à ce plan, donc \[3 \times 0 + 1 - 1 + d = 0 \implies d = 0\] L'équation du plan est donc \[3x + y - z = 0.\]

d. Le plan admet pour équation \[-5x + 0y - 2z + d = 0.\] Puisque $A$ est sur ce plan \[-5\times 1 - 2\times 1 + d = 0 \implies d = 7.\] Donc une équation cartésienne de ce plan est \[-5x - 2z + 7 = 0.\]

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