Corrigé du 60 P. 106

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a. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\5\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-5 \\ -2 \\ 4\end{pmatrix}$ donc \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 1 \times (-5) + 3\times (-2) + 5\times 4 =9.\]

b. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-\frac 1 6 \\ 0 \\ \frac{10}3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-\frac 2 3 \\ 0 \\ \frac{13}7\end{pmatrix}$ donc \begin{align*} \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} &=-\dfrac 1 6 \times \left(-\dfrac 2 3\right) + 0\times 0 + \dfrac{10}3 \times \dfrac{13} 7 & \\ &= \dfrac 1 9 + \dfrac{130}{21}& \\ &=\dfrac{7}{63}+\dfrac{390}{63}& \\ &=\dfrac{397}{63}.& \end{align*}

c. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-4 \\ 2\sqrt 2 \\ \sqrt 7\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -11 \\ -3\sqrt 2 \\ 0\end{pmatrix}$ donc \begin{align*} \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} &=-4\times (-11) + 2\sqrt 2 \times (-3\sqrt 2) + \sqrt 7 \times 0& \\ &=44 - 12& \\ &= 32.& \end{align*}

d. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2-\sqrt 5 \\ -2\sqrt 2 - 1 \\ 0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1-\sqrt 5 \\ -\sqrt{10}-1 \\ \sqrt 2\end{pmatrix}$ donc \begin{align*} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &={\small (2-\sqrt 5)(-1-\sqrt 5) + (-2\sqrt 2 - 1)(-\sqrt{10}+1) + 0\times \sqrt 2}& \\ &=-2 -2\sqrt 5 + \sqrt 5 + 5 + 2\sqrt{20} + 2\sqrt 2 + \sqrt{10} + 1& \\ &=4 - \sqrt 5 + 4\sqrt 5 + 2\sqrt 2 + \sqrt {10}& \\ &= 4 + 2\sqrt 2 + 3\sqrt 5 + \sqrt{10}.& \end{align*}

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