Corrigé du 31 P. 44

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1. Premiers termes : \[\begin{aligned} u_0 &= 2\times 0 + 9 = 9\;;& \\ u_1 &= 2\times 1 + 9 = 11\;;& \\ u_2 &= 2\times 2 + 9 = 13.& \end{aligned}\] $u_2 - u_1 = u_1 - u_0 = 2$. La suite semble être arithmétique de raison $2$.

2. (On remplace $n$ par $n+1$ dans l'expression de $u_n$): \[u_{n+1} = 2(n+1) - 9 = 2n +2 - 9 = 2n - 7.\]

3. Donc pour tout entier naturel $n$: \[u_{n+1} - u_n = 2n - 7 - (2n -9) = \cancel{2n} - 7 - \cancel{2n} + 9 = 2.\] Donc: \[u_{n+1} = u_n + 2.\] La suite $(u_n)$ est donc arithmétique de raison $2$.

4. Suite $(w_n)$: \[\begin{aligned} w_0 &= 84 - 3\times 0 = 84\;;& \\ w_1 &= 84 - 3\times 1 = 81\;;& \\ w_2 &= 84 - 3\times 2 = 78.& \end{aligned}\] $78 - 81 = 81 - 84 = -3$. La suite semble donc arithmétique de raison $r=-3$.
Pour tout entier naturel $n$: \[w_{n+1} = 84 - 3(n+1) = 84 - 3n -3 = 81 - 3n.\] Donc: \[w_{n+1} - w_n = 81 - 3n - (84 - 3n) = 81 - \cancel{3n} - 84 +\cancel{3n} = -3.\] La suite $(w_n)$ est bien arithmétique de raison $r=-3$.

4. Suite $(v_n)$: \[\begin{aligned} v_0 &= 0^2 + 5 = 5\;;& \\ v_1 &=1^2 + 5 = 6\;;& \\ v_2 &=2^2 + 5 = 9.& \end{aligned}\] $v_1 - v_0 = 6 - 5 = 1$ mais $v_2 - v_1 = 9 - 6 = 3$. La suite $(v_n)$ ne peut donc pas être arithmétique.

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