N. Belliard
Compléments des cours
Démonstration

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Théorème. (intégration par parties). Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $[a;b]$ telles que $u'$ et $v'$ sont continues sur ce même intervalle. \par Alors: \[\int_a^b u(x)v'(x)\:\mathrm dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\:\mathrm dx.\]

Démonstration. D'après la règle de dérivation d'un produit, la dérivée de $uv$ est: \[(uv)' = u'v + uv' \iff uv' = (uv)'-u'v.\] On a supposé $v'$ continue et puisque $u$ est dérivable, elle est aussi continue. Le produit $uv'$ admet donc des primitives.
$(uv')$ est la dérivée de $uv$ donc admet pour primitive $uv$.
$u'$ est supposée continue, $v$, dérivable, est continue, donc $u'v$ est continue et admet des primitives.
Donc en reprenant notre relation, pour tout $x\in[a,b]$: \begin{align*} u(x)v'(x) &= (uv)'(x) - u'(x)v(x)& \\ \implies \int_a^b u(x)v'(x)\mathrm dx &=\int_a^b (uv)'(x)\mathrm dx - \int_a^b u'(x)v(x)\mathrm dx& \\ \implies \int_a^b u(x)v'(x)\mathrm dx &=\big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\mathrm dx. & \end{align*}

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