N. Belliard
Compléments des cours
Démonstration

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Corollaire. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ contenant les réels $a$ et $b$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Alors: $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm dt = F(b) - F(a)$.

Démonstration. Soit $F$ une primitive quelconque de $f$ et $c$ le réel en lequel elle s'annule.
D'après le théorème précédent, pour tout $t\in I$: \[F(x) = \int_c^x f(t)\mathrm dt.\] Or, d'après la relation de Chasles: \[\begin{aligned} \int_a^b f(t)\mathrm dt &= \int_a^c f(t)\mathrm dt + \int_c^b f(t)\mathrm dt& \\ &=-\int_c^a f(t)\mathrm dt + \int_c^b f(t)\mathrm dt& \\ &= - F(a) + F(b)& \\ &=F(b) - F(a).& \end{aligned}\]

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