N. Belliard
Compléments des cours
Démonstration

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Théorème. Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $a$ un réel appartenant à $I$, et $F$ la fonction définie sur $I$ par \[F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt.\] Alors $F$ est l'unique primitive de $f$ s'annulant en $a$.

Démonstration. Nous ne démontrons ce résultat que dans le cas où $f$ est positive et strictement croissante sur $I$ et $a$ est la borne inférieure de $I$.
Dans ce cas, $F$ est la fonction qui à $x$ associe l'aire du domaine associé à la courbe de $f$ entre $a$ et $x$ (colorée en rose).

Pour $x_0 \in I$, et $h>0$, on peut encadrer $F(x_0+h) - F(x_0)$ (aire hachurée) par les aires de deux rectangles. \[\begin{aligned} &f(x_0)h \le F(x_0+h) - F(x_0) \le f(x_0+h)h& \\ \iff &f(x_0) \le \frac{F(x_0+h) - f(x_0)} h \le f(x_0+h)& \end{aligned}\] Donc, en passant à la limite: \[\begin{aligned} &\lim_{h\to 0} f(x_0) \le \lim_{h\to 0} \frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}h \le \lim_{h\to0} f(x_0+h)& \\ \implies &f(x_0) \le F'(x_0) \le f(x_0)& \\ \implies &F'(x_0) = 0.& \end{aligned}\] On peut retrouver le même résultat quand $h < 0$. Donc pour tout $x_0\in I$, $F'(x_0) = f(x_0)$, ce qui prouve que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$.
Il est évident qu'elle s'annule en $a$.

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