Pourcentages
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1. Fréquence, proportion et pourcentage

1.1. Proportion, fréquence

Déf. Soit $E$ un ensemble ayant $n$ éléments et $F$ une partie de $E$ ayant $k$ éléments.
La proportion (ou fréquence) des éléments de $F$ dans $E$ est le quotient \[p = \frac k n.\]

Ex. En 2°5, il y a 30 élèves dont 18 filles. Quelle est la proportion de filles ? \[p = \frac{18}{30} = 0,6.\]

1.2. Pourcentage

Déf. Une proportion est exprimée en pourcentage si elle est sous la forme d'un quotient de dénominateur 100. Le symbole % signifie donc « divisé par 100 ». \[x\text{%} = \frac x{100}.\]

Ex. Reprendre l'exemple précédent et exprimer la proportion de filles en 2°5 sous forme de pourcentage : \[p = 0,6 = \frac{60}{100} = {60}\:\text{%} .\]

1.3. Proportion de proportion

Prop. Soient $A$ un ensemble, $B$ une partie de $A$ et $C$ une partie de $B$.
Si la proportion de $B$ dans $A$ est $p$, et que la proportion de $C$ dans $B$ est $p'$, alors la proportion de $C$ dans $A$ est \[pp'.\]

Ex. 60 % des membres d'un groupe sont des garçons, et 20 % des garçons de ce groupe portent des lunettes.
Quelle est la proportion des garçons à lunettes parmi les membres du groupe ?
60 % = 0,6 et 20 % = 0,2, donc la proportion cherchée est \[0,6 \times 0,2 = 0,12 = 12\:\text{%}.\]

Preuve.

Si $n_A$ est le nombre d'éléments de $A$, $n_B$ celui de $B$ et $n_C$ celui de $C$, alors : \[\begin{aligned} p &= \frac{n_B}{n_A}& \\ p'&=\frac{n_C}{n_B}.& \end{aligned}\] Alors \[pp' = \frac{n_B}{n_A} \times \frac{n_C}{n_B} = \frac{n_C}{n_A}.\] Or $\dfrac{n_C}{n_A}$ est bien la proportion de $C$ dans $A$.

2. Évolutions

2.1. Indice

Déf. Soit une quantité passant d'une valeur $V_i$ non nulle à un temps Ti à une valeur $V_f$ à un temps Tf.
On appelle indice de base 100 au temps Ti le nombre réel : \[\frac{V_f \times 100}{V_i}.\]

Ex. Si un prix passe de 50 € à une date T à 60 €. Son indice de base 100 à la date T est \[\frac{60\times 100}{50} = 120.\]

2.2. Évolution absolue, évolution relative

Déf.. Soit une quantité variable passant d'une valeur initiale $V_i$ à une valeur finale $V_f$.
La variation absolue de cette quantité est \[V_f - V_i.\] Si $V_i$ est non nulle, la variation relative de la quantité est \[\dfrac{V_f - V_i}{V_i}.\]

Rem. Les variations relatives sont généralement exprimées sous forme de pourcentage.

Ex.

  1. Le prix d'un article de consommation courante passe de 10 € à 12 €.
    • La variation de prix absolue est \[12 - 10 = {2\ \text{€}}.\]
    • La variation de prix relative est \[\dfrac{12 - 10}{10} = 0,2 = +20\ \text{%.}\]
  2. Si maintenant le prix passe de 12 € à 10 €.
    • La variation absolue du prix est \[10 - 12 = -2\ \text{€}.\]
    • La variation relative du prix est \[\dfrac{10-12}{12} \approx -0,167 \approx {-16,7\ \text{%}}.\]

2.3. Coefficient multiplicateur

Prop. & déf. Soit une quantité qui, passant d'une valeur $V_i$ à une valeur $V_f$, a une évolution relative égale à $p$.
Alors \[V_f = c\times V_i\] où $c$, appelé coefficient multiplicateur, vérifie la relation \[c = 1+p.\]

Ex. Si une quantité augmente de 20 %, alors elle est multipliée par \[c = 1 + \frac{20}{100} = 1+0,2 = 1,2.\] Si une quantité évolue de −30 %, alors elle est multipliée par \[c = 1 - \frac{30}{100} = 1 - 0,3 = 0,7.\]

Preuve

Par hypothèse \[\frac{V_f- V_i}{V_i} = p.\] Donc : \[\begin{aligned} &\frac{V_f - V_i}{V_i} = p& \\ \iff &V_f - V_i = pV_i& \\ \iff &V_f = V_i + pV_i& \\ \iff &V_f = (1+p)V_i& \end{aligned}\]

2.4. Évolutions successives

Ex. Un article voit son prix augmenter de 20 % puis de 30 %. Quelle a été son évolution relative globale ?
Le prix a d'abord été multiplié par \[1+0,2 = 1,2\] puis par \[1+0,3 = 1,3.\] Il a donc été multiplié par \[1,2 \times 1,3 = 1,56\] Or 1,56 est le coefficient d'une évolution de : \[1,56 - 1 = 0,56 = +56\ \text{%}.\]

Ex. Un prix augmente de 50 % puis diminue de 50 %. Est-il revenu à sa valeur initiale ?
En augmentant de 50 %, le prix a été multiplié par \[1+0,5 = 1,5.\] En diminuant de 50 %, il a été multiplié par \[1-0,5 = 0,5.\] Globalement, il a donc été multiplié par \[1,5 \times 0,5 = 0,75.\] Traduisons ce coefficient multiplicateur en évolution relative: \[0,75 - 1 = -0,25 = -25\ \text{%}.\] Donc le prix n'est pas revenu à sa valeur initiale, il a en fait diminué de 25 %.

2.5. Évolution réciproque

Déf. 2.4.1 Si une valeur subit une évolution relative $p$, l'évolution réciproque est l'évolution relative qui la ramène à sa valeur de départ.

Ex. Un prix augmente de 20 %. Quelle évolution en pourcentage le ramènera à sa valeur initiale ? \[\begin{aligned} &(1+0,2)V_i=V_f& \\ \iff &1,2 V_i= V_f& \\ \iff &V_i = \frac 1 {1,2}V_f& \end{aligned}\] Or \[\frac 1 {1,2} \approx 0,833\ \text{et}\ 0,833 - 1 = -0,167.\] Il faut donc une diminution d'environ 16,7 % pour retrouver la valeur de départ.