1. Quotient, fraction

1.1. Notion de quotient

Déf. Soient $a$ et $b$ deux réels, avec $b\neq 0$. Le quotient $\dfrac{a}{b}$ est le résultat de la division de $a$ par $b$.
On appelle $a$ le « numérateur » et $b$ le « dénominateur ».
Si $a$ et $b$ sont tous deux entiers, $\dfrac ab$ s'appelle aussi une fraction.

Prop. Si $a$ et $b$ ont le même signe, le quotient $\dfrac a b$ est positif ; sinon il est négatif. Dans ce dernier cas, on peut écrire le quotient avec un signe moins devant le trait de fraction.

Ex. $\dfrac{-5}{6} = \dfrac{5}{-6} = -\dfrac{5}{6}$;
$\dfrac{-5}{-6} = \dfrac56$.

1.2. Simplifier une fraction

Prop. Soit $a$ et $b$ deux réels avec $b\neq 0$. Pour tout réel $k$ non nul : \[\frac a b = \frac{ka}{kb}.\]

Prop.& déf. Soit $a$ et $b$ deux entiers non nuls. La fraction $\dfrac a b$ est dite irréductible si et seulement si le seul diviseur positif de $a$ et $b$ est 1.

Toute fraction non nulle admet une forme irréductible unique.

Simplifier une fraction, c'est en donner la forme irréductible.

Ex. Donner la forme irréductible des fractions $\dfrac{63}{231}$ et $\dfrac{60}{105}$. \begin{align*} \frac{63}{231} &= \frac{\cancel{3}\times 3 \times\cancel{7}}{\cancel{3}\times\cancel{7} \times 11} = \frac{3}{11}\;& \\ \frac{60}{105} &=\frac{2\times 2 \times \cancel{3} \times\cancel{5}} {\times \cancel{3} \times \cancel{5} \times 7} = \frac 47.& \end{align*}

1.3. Comparer des fractions

Déf. Réduire au même dénominateur deux fractions, c'est les récrire de telle sorte qu'elles aient le même dénominateur.

Ex. Réduire au même dénominateur $\dfrac 3{14}$ et $\dfrac 1{10}$.
Sachant que \[ \frac{3}{14} = \frac{3}{2\times 7} \quad\text{et}\quad \frac 1 {10} = \frac 1 {2\times 5}. \] On en déduit que: \[\begin{aligned} \frac 3 {14} &= \frac{3\times{\boldsymbol 5}}{2\times 7 \times{\boldsymbol5}} =\frac{15}{70}\;;& \\ \frac{1}{10} &=\frac{1\times{\boldsymbol 7}}{2\times 5 \times {\boldsymbol 7}} =\frac 7 {70}.& \end{aligned}\]

Déf. Comparer deux quantités, c'est déterminer l'ordre dans lequel elles sont.
Pour comparer deux fractions, on peut les réduire au même dénominateur puis comparer les numérateurs.

Ex. Comparer $\dfrac 78$ et $\dfrac{50}{56}$. \[\frac 78 = \frac{7\times\boldsymbol{7}}{8\times\boldsymbol{7}} = \frac{49}{56}.\] Alors: \[49 < 50 \implies \frac{49}{56} < \frac{50}{56} \implies \frac78 < \frac{50}{56}.\]

2. Opérations sur les quotients

2.1. Addition et soustraction de quotients

Prop. Pour additionner deux quotients, ils doivent avoir le même dénominateur. La fraction somme admet ce même dénominateur et son numérateur est la somme des numérateurs des fractions additionnées.
Si $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels avec $c\neq 0$: \[\frac ac + \frac bc = \frac{a+b}c.\] Pour soustraire deux quotients, la procédure est similaire mais on soustrait les numérateurs.

Ex. \begin{align*} \frac 13 + \frac43 &= \frac{1+4}3 = \frac 53\;;& \\ \frac 13 - \frac16 &=\frac 26-\frac16 = \frac{2-1}6 = \frac 16.& \end{align*}

2.2. Multiplication de quotients

Prop. Pour multiplier deux quotients, on multiplie entre-eux les numérateurs et on multiplie entre-eux les dénominateurs.
Si $a$, $b$, $c$ et $d$ sont quatre nombres réels avec $c\neq 0$ et $d\neq 0$: \[\frac ab \times \frac cd = \frac{ac}{bd}.\]

Ex. \[\frac 2 3 \times \frac{-8}5 = \frac{2\times(-8)}{3\times5} =\frac{-16}{15} = -\frac{16}{15}.\]

2.3. Division de quotients

Déf. L'inverse d'un nombre réel non nul $a$ est le nombre réel $\dfrac 1{a}$.
En particulier, si $a$ et $b$ sont deux réels non nuls, l'inverse du quotient $\dfrac ab$ est le quotient $\dfrac ba$.

Prop. Diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse.

Ex. \[\begin{aligned} \frac{\frac 1 2}{\frac 1 3} &= \frac 12 \times \frac 31 = \frac 32\;;& \\ \frac{3}{\frac 53} &= 3\times \frac35 = \frac95\;;& \\ \frac{\frac78}{5} &= \frac78 \times \frac15 = \frac7{40}.& \end{aligned}\]