0. Révisions éventuelles

Cours de première sur les suites numériques (à rédiger)

1. Suites bornées

Déf. S'il existe un réel $M$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n \le M$, alors on dit que $M$ est un majorant de la suite $(u_n)$.

Déf. S'il existe un réel $m$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n \ge m$, alors on dit que $m$ est un minorant de la suite $(u_n)$.

Déf. Si $(u_n)$ est à la fois majorée et minorée, elle est dite bornée.

2. Raisonnement par récurrence

Axiome. Soit $\mathcal P(n)$ une assertion dépendant de l’entier naturel $n$ et $n_0$ un entier naturel.
Si :

$P(n_0)$ est vraie ;
Pour tout entier $n\ge n_0$ : si $\mathcal P(n)$ est vraie, alors $P(n+1)$ est vraie aussi ;

alors l’assertion $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge n_0$.

3. Limite d’une suite

Déf. Soit $(u_n)$ une suite.

Si, aussi grand que je choisisse un réel $M$, il existe un rang $n_0$ tel que \[n \ge n_0 \implies u_n \ge M,\] alors la suite $(u_n)$ a pour limite « plus l'infini ». On le note \[\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n = +\infty.\]
Si, aussi petit que je choisisse un réel $m$, il existe un rang $n_0$ tel que \[n\ge n_0 \implies u_n \le m\] alors la suite $(u_n)$ a pour limite « moins l'infini ». On le note \[\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n = -\infty.\]

Déf. Soit $(u_n)$ une suite et $\ell$ un nombre réel.
Si, quel que soit l’intervalle $\left]a;b\right[$ contenant $\ell$ que l'on choisisse, il existe un rang $n_0$ tel que \[n \ge n_0 \implies u_n \in \left]a;b\right[\] alors on dit que la suite $(u_n)$ a pour limite $\ell$.
On le note \[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell.\]

Déf. On dit d'une suite qui tend vers un réel $\ell$ qu'elle converge vers $\ell$.
Dans tous les autres cas, on dit que la suite diverge.

Prop. Une suite ne peut pas converger vers plusieurs nombres distincts.

Preuve.

Imaginons qu'une suite $(u_n)$ tende vers $\ell$ et $\ell'$, avec $\ell < \ell'$.
Il existe alors un réel $\alpha$ tel que $a\in]\ell;\ell'[$.
Choisissons $a<\ell$. Puisque $(u_n)$ converge vers $\ell$, d'après la définition, il existe un rang $n_0$ tel que \[n \ge n_0 \implies u_n \in ]a;\alpha[.\] Choisissons $b>\ell'$. Puisque $(u_n)$ converge vers $\ell'$, d'après la définition, il existe un range $n_1$ tel que \[n \ge n_1 \implies u_n\in]\alpha;b[.\] Cela signifierait que pour tout $n$ supérieur à la fois à $n_0$ et à $n_1$, $u_n$ serait à la fois dans $]a;\alpha[$ et dans $]\alpha;b[$.
Or c'est impossible car ces deux intervalles sont disjoints.
Donc notre hypothèse de départ est fausse et une suite ne peut converger vers plusieurs réels.☐

Prop. Une suite convergente est nécessairement bornée.

Rem. Attention, la réciproque est fausse. Une suite bornée n'est pas forcément convergente.

Preuve.

Soit une suite convergeant vers un réel $\ell$ et $]a;b[$ un intervalle contenant $\ell$.
Par définition, il existe un rang $n_0$ tel que \[n\ge n_0 \implies u_n\in]a;b[.\] Donc tous les termes à partir de $u_{n_0}$ sont supérieurs à $a$ et inférieurs à $b$.
Les termes $u_0$, $u_1$, … $u_{n_0-1}$ sont en nombre finis. Notons $\alpha$ le plus petit d'entre eux et $\beta$ le plus grand d'entre eux.
Notons $m$ le plus petit nombre entre $a$ et $\alpha$; alors tous les termes de la suite sont supérieurs ou égaux à $m$.
Notons $M$ le plus grand nombre entre $b$ et $\beta$; alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à $M$.
La suite est donc bien bornée par $m$ et $M$.

4. Opérations sur les limites

À partir de la connaissance des limites de suites de référence et de certaines règles de "composition", il est parfois possible de déterminer la limite d'une suite plus complexe.

Tous les résultats de cette section sont admis.

Prop. (limites usuelles)

Pour tout réel $k$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} k = k$.
Pour tout $p\in\mathbb N^*$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n^p = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac 1 {n^p} = 0$.
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \mathrm e^n = +\infty$.
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \sqrt{n} = +\infty$.
Si $q\in]-1;1[$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} q^n = 0$.
Si $q>1$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} q^n = 0$.

Prop. (limite de l'opposé) \[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = \alpha \iff \displaystyle\lim_{n\to+\infty} -u_n = -\alpha\] où $\alpha$ désigne aussi bien un nombre réel que $+\infty$ ou $-\infty$, avec la convention $-(-\infty)=+\infty$ et $-(+\infty) = -\infty$.

Prop. (limite de somme)
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites. L'éventuelle limite de $(u_n+v_n)$ peut être obtenue par le tableau suivant. \[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \downarrow\lim u_n\quad \lim v_n \rightarrow & \ell' & +\infty & -\infty \\ \hline \ell & \ell + \ell' & +\infty & -\infty \\ \hline +\infty & +\infty & +\infty & \text{F.I.} \\ \hline -\infty & -\infty & \text{F.I.} & -\infty \\ \hline \end{array}\] Dans ce tableau, F.I. signifie « forme indéterminée ». Cela signifie que dans cette situation, il est impossible de conclure sur la limite de $(u_n+v_n)$ sans information supplémentaire.

Prop.

Si $\ell \neq 0$, \[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell \iff \displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac 1 {u_n} = \dfrac 1 {\ell}.\]
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = \pm\infty \implies \displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac 1 {u_n} = 0.\]

Déf. Si \[\lim_{n\to+\infty} u_n = 0\] et que, pour $n$ assez grand, \[u_n > 0\] on dit que la suite $(u_n)$ tend vers « zéro plus », ce qui se note \[\lim_{n\to+\infty} u_n = 0^+.\] Si par contre, pour $n$ assez grand, $u_n <0$, on pourra écrire que \[\lim_{n\to+\infty} u_n = 0^-.\]

Rem. Si \[\lim_{n\to+\infty} u_n = 0,\] alors la limite de $\left(\frac 1 {u_n}\right)$ est indéterminée.
Par contre…

Prop. \[\begin{aligned} \lim_{n\to+\infty} u_n = 0^+ &\implies \lim_{n\to+\infty} \frac 1 {u_n} = +\infty\;;& \\ \lim_{n\to+\infty} u_n = 0^- &\implies \lim_{n\to+\infty} \frac 1 {u_n} = -\infty\;;& \end{aligned}\]

Prop. (limite du produit) La limite de $(u_n \times v_n)$ peut parfois être obtenue à partir de celles de $(u_n)$ et $(v_n)$ à l'aide du tableau ci-dessous.
On applique la règle des signes pour le signe du résultat.
Ici $\ell\in\mathbb R^*$. \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \downarrow\lim u_n\quad\lim v_n \rightarrow & \ell' & 0 & \pm\infty \\ \hline \ell & \ell\ell' & 0 & \pm\infty \\ \hline 0 & 0 & 0 & \text{F.I.} \\ \hline \pm\infty & \pm\infty & \text{FI} & \pm\infty \\ \hline \end{array} \]

5. Suites monotones bornées

Théo.

Toute suite croissante et majorée par un réel $M$ converge vers un réel $\ell$ tel que $\ell \le M$.
Toute suite décroissante et minorée par un réel $m$ converge vers un réel $\ell$ tel que $\ell \ge m$.

Rem. Ce théorème permet de savoir qu'une suite est convergente, mais il n'en donne pas la limite.
C'est pourquoi il est souvent associé avec la propriété suivante.

Prop. Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$.
Soit $(u_n)$ une suite vérifiant la relation de récurrence \[\forall n\in\mathbb N,\quad u_{n+1} = f(u_n).\]
Si $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$, alors $\ell$ vérifie la relation \[\ell = f(\ell).\]

Rem. La notion de continuité d'une fonction sera vue dans un autre chapitre. Il suffit ici de savoir que à l'exception de la fonction partie entière, toutes les fonctions rencontrées au lycée sont continues sur tout intervalle sur lequel elles sont définies.

6. Limites par comparaison

Lorsque l'on rencontre une forme indéterminée, il faut utiliser d'autres outils pour déterminer la limite d'une suite.
La comparaison avec une (plusieurs) suite dont on connaît la limite est l'un d'entre eux.

Théo. (comparaison de suites) Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites numériques et un rang $n_0$ à partir duquel \[n\ge n_0 \implies u_n \le v_n.\] Alors :

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty \implies \displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = +\infty$;
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = -\infty \implies \displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = -\infty$.

Théo. (dit "des gendarmes"). Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites numériques et un rang $n_0$ tel que \[\forall n\ge n_0,\quad u_n \le v_n \le w_n .\] Alors \[\lim_{n\to+\infty} u_n = \lim_{n\to+\infty} w_n = \ell \implies \lim_{n\to+\infty} v_n = \ell.\]

Toute suite croissante et majorée par un réel $M$ converge vers un réel $\ell \le M$. \\ Toute suite décroissante et minorée par un réel $m$ converge vers un réel $\ell \ge m$.