1. Base du plan

1.1. Définition

Théo. 1.1.1. (admis) Soient, dans le plan, un couple de vecteurs $(\vec i,\vec j)$. Si $\vec i$ et $\vec j$ ne sont pas colinéaires, alors pour tout vecteur $\vec u$, il existe un unique couple de réels $(x,y)$ tel que : \[\vec u = x\vec i + y\vec j.\]

figure : décomposition d'un vecteur dans une base

Déf. 1.1.2. Le couple $(\vec i,\vec j)$ du théorème précédent est appelé une base du plan.
Le couple $(x,y)$ représente les coordonnées du vecteur $\vec u$ dans la base $(\vec i,\vec j)$.
On le note $\vec u\binom{x}{y}$ ou aussi $\vec u(x,y)$. Plus précisément, $x$ est l’abscisse et $y$ est l’ordonnée du vecteur $\vec u$.

Déf. 1.1.3.

Si $\lVert \vec i \rVert = \lVert \vec j\rVert = 1$ la base est dite normée.
Si les directions de $\vec i$ et $\vec j$ sont perpendiculaires, alors la base est dite orthogonale.
Une base normée et orthogonale est dite orthonormée.

1.2. Calculs dans les bases

Prop. 1.2.1. Soient, dans une base donnée, les vecteurs $\vec u\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec u'\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$.

Le vecteur $-\vec u$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-x\\-y\end{pmatrix}$.
Le vecteur $\vec u + \vec v$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\end{pmatrix}$.
Pour tout réel $k$, le vecteur $k\vec u$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}$.

Preuves

Si $\vec u$ a pour coordonnées $(x,y)$, cela signifie que \[\vec u = x\vec i + y\vec j.\] De même, si $\vec u'$ a pour coordonnées $(x',y')$, cela signifie que \[\vec v = x'\vec i + y'\vec j.\] Utilisons maintenant les propriétés du calcul vectoriel.

\[-\vec u = -\left(x\vec i + y\vec j\right) = -x\vec i - y\vec j.\] Donc $-\vec u$ a bien pour coordonnées $(-x,-y)$.
\[\begin{aligned} \vec u + \vec v &=x\vec i + y\vec j + x'\vec i + y'\vec j& \\ &=x\vec i + x'\vec i + y\vec j + y'\vec j& \\ &=(x+x')\vec i + (y+y')\vec j.& \end{aligned}\] Donc $\vec u + \vec v$ a bien pour coordonnées $(x+x',y+y')$.
\[k\vec u =k\left(x\vec i + y\vec j\right) =kx\vec i + ky\vec j. \] Donc les coordonnées de $k\vec u$ sont bien $(kx,ky)$.

Prop. Soit, dans une base orthonormée, le vecteur $\vec u\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$. Alors \[\lVert \vec u \rVert = \sqrt{x^2 + y^2}.\]

Preuve

Choisissons trois points $O$, $A$ et $B$ tels que \[\overrightarrow{OA}=x\vec i \ \text{et}\ \overrightarrow{AB}=y\vec j.\]

On a donc \[\overrightarrow{OB} = x\vec i + y\vec j = \vec u.\] Puisque le repère est normé: \[\begin{aligned} OA = &\lVert\overrightarrow{OA}\rVert = \lVert x\vec i\rVert = \lvert x \rvert \times \lVert \vec i \rVert =\lvert x \rvert \times 1 = \lvert x \rvert.& \\ OB = &\lVert\overrightarrow{OB}\rVert = \lVert y\vec j\rVert = \lvert y \rvert \times \lVert \vec j \rVert =\lvert y \rvert \times 1 = \lvert y \rvert.& \end{aligned}\] Puisque le repère est aussi orthogonal, le triangle $OAB$ est rectangle en $A$ et on peut appliquer le théorème de Pythagore. \[\lVert \vec u \rVert^2 = OB^2 = OA^2 + AB^2 = \lvert x\rvert^2 + \lvert y \rvert^2 = x^2 + y^2.\] Finalement: \[\lVert \vec u\rVert^2 = x^2 + y^2 \implies \lVert \vec u \rVert = \sqrt{x^2 + y^2}.\]

2. Repère du plan.

2.1. Définition

Déf. & prop. 2.1.1. Soient $O$ un point et $(\vec i,\vec j)$ une base du plan. Le triplet $(O;\vec i,\vec j)$ s’appelle un repère du plan.
Pour tout point $M$ du plan, il existe un unique couple de réels $(x,y)$ tel que \[\overrightarrow{OM} = x\vec i + y\vec j.\] Le couple $(x,y)$ représente les coordonnées du point $M$ dans ce repère. On le note $M(x,y)$.

Rem. Les termes "normé", "orthogonal" et "orthonormé" s’appliquent aussi aux repères.

2.2. Calculs dans les repères.

Prop. 2.2.1. Soient, dans un repère $(O;\vec i,\vec j)$, les points $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$. Alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées \[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B - x_A\\y_B - y_A\end{pmatrix}.\]

Preuve

Par définition : \[\begin{aligned} \overrightarrow{OA} &= x_A\vec i + y_A\vec j\;;& \\ \overrightarrow{OB} &=x_B\vec i + y_B \vec j.& \end{aligned}\] Alors, en utilisant la relation de Chasles : \[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &=\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}& \\ &=\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}& \\ &=x_B\vec i + y_B\vec j -\left(x_A\vec i + y_A\vec j\right)& \\ &=x_B\vec i + y_B\vec j - x_A\vec i - y_A\vec j& \\ &=(x_B - x_A)\vec i + (y_B - y_A)\vec j.& \end{aligned}\] Cette dernière relation montre bien que $\begin{pmatrix}x_B -x_A\\y_B - y_A\end{pmatrix}$ sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Cor. 2.2.2. Donc, si le repère est orthonormé, on a de plus : \[AB = \lVert \overrightarrow{AB}\rVert = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.\]

Prop. 2.2.3. Soient, dans un repère, les points distincts $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$. Alors le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées \[I\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2\right)\]

Preuve

$I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si \[\overrightarrow{AI} = \frac 1 2 \overrightarrow{AB}.\] Du point de vue des abscisses, cela se traduit par : \[\begin{aligned} x_I - x_A &= \frac 1 2 \left(x_B - x_A\right)& \\ \iff x_I - x_A &=\frac 1 2 x_B - \frac 1 2 x_A& \\ \iff x_I &= x_A - \frac 1 2 x_A + \frac 1 2 x_B& \\ \iff x_I & = \frac 1 2 x_A + \frac 1 2 x_B = \frac{x_A + x_B} 2& \end{aligned}\] On réalisera exactement le même calcul sur les ordonnées, d'où le résultat annoncé.