Nombres
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Déf.
Un nombre entier est un nombre qui peut s'écrire sans utiliser le séparateur décimal (la virgule).
Si un entier est positif on dit que c'est un entier naturel.
L'ensemble des entiers naturels se note $\mathbb N$.
Déf. Un entier positif ou négatif est un entier relatif. L'ensemble des entiers relatifs se note $\mathbb Z$.
Déf. Tout entier naturel est aussi un entier relatif. On dit que $\mathbb N$ est inclus dans $\mathbb Z$, ce qui se note \[\mathbb N \subset \mathbb Z.\]
Déf. Soient $a\in\mathbb Z$ et $b\in\mathbb Z$. On dit que $a$ divise $b$ (ou que $b$ est un multiple de $a$) ssi il existe $k\in\mathbb Z$ tel que \[b=ka.\]
Ex.
4 divise 12 car $12 = 3\times 4$ (ici $k=3$) ;
0 est multiple de 3 car $0 = 0×3$ ;
3 ne divise par 5 car $5 = 3\times \frac 5 3$ et $k=\frac 5 3 \notin\mathbb Z$.
Prop. 1 divise tous les entiers et tout entier est divisible par lui-même.
Preuve. Pour tout entier $n$, $n = 1\times n$ donc $1$ et $n$ sont des diviseurs de $n$.
Prop. 0 est multiple de tout entier.
Preuve. Pour tout entier $n$, $0 = 0\times n$.
Prop. Si $a$ divise $b$, alors $\lvert a\rvert ≤\lvert b\rvert$.
Propriété admise.
Déf. Un entier $p\ge 2$ est dit premier s'il admet exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
Ex.
Nombres premiers inférieurs à 20 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Th. Tout entier supérieur ou égal à 2 s'écrit, de manière unique (à l'ordre des facteurs près), comme un produit de nombres premiers.
Ex.
50 = 2 × 52 ;
260 = 22 × 3 × 52.
13 = 13 (on triche un peu …).
Déf.
Une fraction est le quotient de deux nombres entiers.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction.
L'ensemble des nombres rationnels se note ℚ.
Prop.
Tout nombre entier est aussi un nombre rationnel. On a donc les inclusions suivantes.
ℕ⊂ℤ⊂ℚ.
Preuve.
Tout entier n peut s'écrire sous la forme de la fraction n/1.
Donc tout entier est aussi un rationnel.
Déf.
Une fraction strictement positive $\frac a b$ est sous forme irréductible
si $a$ et $b$ sont positifs et que le seul diviseur commun positif de
$a$ et $b$ est 1.
Une fraction strictement négative est sous forme irréductible si elle est sous
la forme $-\frac a b$
où $\frac a b$ est une fraction positive irréductible.
Th. Toute fraction non nulle admet une forme irréductible unique.
Preuve admiseProp. Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres, avec $b$ et $d$ non nuls.
Prop. & déf.
Soit $a\ge 0$. Il existe un unique nombre positif $x$ tel que $x^2=a$.
On l'appelle racine carrée de $a$ et on le note $x=\sqrt{a}$.
Ex. $\sqrt{16} = 4$ car $4^2=16$. $\sqrt{100} = 10$ car $10^2 = 100$.
Prop.
Rem.
Attention, de manière générale, $\sqrt{a+b}$ n'est PAS égal à $\sqrt{a}+\sqrt b$.
Contre exemple : $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ tandis que $\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7$.
Il existe des nombres qui ne sont pas des rationnels. Un exemple classique est $\sqrt 2$.
Prop. $\sqrt{2}\notin\mathbb Q$.
Preuve. (par l'absurde.)
Imaginons que $\sqrt 2$ soit un rationnel. Alors il existe une fraction irréductible $\frac p q$ telle que :
\[\begin{aligned}
\frac p q &= \sqrt 2&
\\ \implies
\left(\frac p q\right)^2 &= 2&
\\ \implies
\frac{p^2}{q^2} &= 2&
\\ \implies
p^2 &= 2q^2.&
\end{aligned}\]
On en déduit que $p^2$ est pair, donc que $p$ est pair.
Alors il existe un entier $k$ tel que $p=2k$ st donc:
\[\begin{aligned}
p^2 &= 2q^2&
\\ \implies
(2k)^2 &= 2q^2&
\\ \implies
4k^2 &= 2q^2&
\\ \implies
2k^2 &= q^2.&
\end{aligned}\]
Donc $q^2$ est pair, donc $q$ est pair.
Oui, mais on a supposé que $\frac pq$ était une fraction irréductible, donc $p$ et $q$ ne peuvent pas
être tous deux pairs !
Conclusion : Il n'existe pas de fraction irréductible $\frac pq$ telle que $\sqrt 2 = \frac p q$.
Déf. Les nombres qui ne sont pas rationnels sont dit irrationnels.
Prop.
Tout les nombres de la forme $\sqrt{p}$ où $p$ est un entier premier sont irrationnels.
La constante $\pi$ est aussi un nombre irrationnel.
Preuves admises.
Déf.
L'ensemble de tous les nombres, rationnels et irrationnels, s'appelle l'ensemble des nombres réels..
On le note ℝ.
Par définition : ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ.
Déf.
Soit $a$ un nombre réel et $n$ un entier naturel non nul.
On appelle « $a$ puissance $n$ » ou « $a$ exposant $n$ »
le nombre réel :
\[a^n\underbrace{a\times a \times \cdots \times a}_{n\ \text{facteurs}}\]
Par convention, pour tout réel $a$ : $a^0=1$.
Déf. Pour tout entier naturel $n$ non nul : \[a^{-n}=\frac 1 {a^n}.\]
Rem. En particulier, $a^{-1}=\dfrac 1 a$ est l'inverse de $a$.
Prop. Si $a$ et $b$ sont deux nombres réels, $n$ et $m$ deux entiers relatifs. \[\begin{aligned} a^n\times a^m&=a^{n+m}\;;& \\ (a^n)^m&=a^{n\times m}\;;& \\ (ab)^n&=&a^n\times b^n\;;&. \end{aligned}\] Si de plus $b\neq 0$, \[\left(\frac a b\right)^n=\frac{a^n}{b^n}.\]
Ces règles sont admises.
Pour tout entier naturel $n$ :
Ex. $10^7=10\:000\:000$ (1 suivi de 7 zéro) et $10^{-3}=0,001$ (1 est à la 3e position après la virgule).
Déf. Un réel non nul est écrit en notation scientifique s'il est écrit sous la forme \[m\times 10^n\] où $m$ (la mantisse), est telle que $0<\lvert m\rvert <10$.
Ex. Masse de la Terre en kg : $5,972\times 10^{24}$.