1. Définition

Déf. Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement s’ils ont la même direction.

Déf. équivalente Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel $k$ tel que \[\vec v = k\vec u\ \text{ou}\ \vec u = k\vec v.\]

Rem. Pour tout vecteur $\vec u$, $\vec 0 = 0\vec u$ donc le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.

2. Applications à la géométrie

Prop. Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Prop. Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

3. Colinéarité dans une base

Prop. Soient, dans une base quelconque, $\vec u\binom{x}{y}$ et $\vec v\binom{x'}{y'}$.
$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si $xy' - x'y = 0$.

Preuve. Si $\vec u = \vec 0$, alors $x=y=0$ et \[xy' + x'y = 0y' + x'0 = 0,\] ce qui est correct puisque le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Si $\vec u\neq \vec 0$, alors $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ tel que : \[\begin{aligned} &\vec v = k\vec u& \iff &\begin{cases}x'=kx\\y'=ky\end{cases} \end{aligned}\] Cela équivaut à demander que \[\begin{array}{|c|c|}\hline x & x' \\ \hline y & y'\\ \hline \end{array}\] soit un tableau de proportionnalité, donc que ses produits en croix soient égaux. \[xy' = x'y \iff xy' - x'y = 0.\]

Déf. & prop. Soient, dans une base donnée, $\vec u\binom{x}{y}$ et $\vec v\binom{x'}{y'}$.
On appelle déterminant de $\vec u$ et $\vec v$ le nombre réel : \[\det\left(\vec u,\vec v\right) = \begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix} = xy' - x'y.\] $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si \[\det\left(\vec u,\vec v\right)=0.\]