AP-07/02

retour

1.a. Le vecteur $\overrightarrow{DE}$ a pour coordonnées \[\begin{pmatrix}11+1\\-9-6\\2-8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12\\-15\\-6\end{pmatrix}.\]
Soit $d$ la droite dont la représentation paramétrique nous est donnée.
Cette droite passe bien par le point $D$ car si $t=0$: \[\begin{cases}-1+4t = -1 = x_E\\6-5t = 6 = y_E\\8-2t = 8 = z_E\end{cases}.\] La droite $(d)$ admet pour vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}$.
Or $\vec u = \dfrac 1 3\overrightarrow{DE}$ car \[\frac 1 3\begin{pmatrix}12\\-15\\-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{12}3\\ -\frac{15}3\\ -\frac{6}3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_{\vec u}\\y_{\vec u}\\z_{\vec u}\end{pmatrix}.\] Puisque $\vec u$ et $\overrightarrow{DE}$ sont colinéaires, les droites $d$ et $\Delta$ sont parallèles; mais elles passent toutes deux par le point $D$. Elles sont donc confondues et cette représentation paramétrique est bien aussi une représentation paramétrique de $\Delta$.

1.b. Puisque $\Delta'$ est parallèle à $\Delta$, elle admet les mêmes vecteurs directeurs que $\Delta$, donc en particulier le vecteur $\vec u$.
Une représentation paramétrique de $\Delta'$ est donc: \[\begin{cases}x = x_O + x_{\vec u}t\\y = y_O + y_{\vec u}t\\z = z_O + z_{\vec u}t\end{cases}(t\in\mathbb R) \iff \begin{cases}x = 4t\\y = -5t\\z = -2t\end{cases}(t\in\mathbb R).\]

1.c. Cherchons une valeur du paramètre $t$ pour laquelle \[\begin{cases}x_F = 4t\\y_F = -5t\\z_F = -2t\end{cases} \iff \begin{cases}1,36 = 4t\\-1,7 = -5t\\-0,7 = -2t\end{cases} \iff \begin{cases}t = 0,34\\ t= 0,34\\ t = 0,35\end{cases}.\] Une telle valeur n'existe pas, donc $F$ n'est pas sur la droite $\Delta'$.

2. Les points $A$, $B$, $C$ définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.
Or $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées \[\begin{pmatrix}1+1\\1+1\\2-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\] et $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées \[\begin{pmatrix}1+1\\-1+1\\7-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}.\] S'il existait un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$, alors on aurait à la fois $k=\frac 2 2 = 1$, $k = \frac 0 2 = 0$ et $k = \frac 4 {-1} = -4$.
C'est impossible, donc $k$ n'existe pas; les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires, donc les points $A$, $B$ et $C$, non alignés, définissent bien un plan.

3. Le vecteur $\overrightarrow{AD}$ a pour coordonnées \[\begin{pmatrix}-1+1\\6+1\\8-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\7\\5\end{pmatrix}.\]
$D$ appartiendra au plan $(ABC)$ si et seulement si le vecteur $\overrightarrow{AD}$ est coplanaire avec les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ (vecteurs que nous savons déjà non colinéaires).
Donc si et seulement s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que \[\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}.\] Cela se traduit sur les coordonnées par \[\begin{cases}0 = 2a + 2b\quad(1)\\7 = 2a + 0b\quad(2)\\5 = -a + 4b\quad(3)\end{cases}\] De l'équation (2) on tire immédiatement que $a = \dfrac 7 2$.
L'équation (1) permet d'obtenir que \[b = -a \implies b = -\frac 7 2.\] Ces valeurs conviennent-elles pour l'équation (3)? \[-a + 4b = \frac 7 2 - 4\times 7 2 = -\frac{21}2.\] Puisque $-\dfrac{21}2\neq 5$, ce n'est pas le cas.
Donc le point $D$ n'est pas sur le plan $(ABC)$.

retour

code : 204