corrigé AP-06/04

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1. On calcule que $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix}$. On a $\dfrac{x_{\overrightarrow{AC}}}{x_{\overrightarrow{AB}}} = 3$ mais $\dfrac{y_{\overrightarrow{AC}}}{y_{\overrightarrow{AB}}}=-\dfrac 13$. Donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires; les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

2.a. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ forment une base de $(ABC)$. Or : \[\begin{aligned} \vec n \cdot\overrightarrow{AB}&=1\times 1 + 3\times 3 + 5\times (-2) = 0\;;& \\ \vec n \cdot \overrightarrow{AC}&=1\times 3+3\times (-1) +5\times 0 = 0.& \end{aligned}\] Orthogonal à la fois à $\overrightarrow{AB}$ et à $\overrightarrow{AC}$, $\vec n$ est donc normal au plan $(ABC)$.

2.b. Méthode 1: recherche de l'équation de $(ABC).$. Puisque $\vec n$ est normal au plan $(ABC)$, un point $M(x,y,z)$ appartient à $(ABC)$ si et seulement si: \[\begin{aligned} \vec n \cdot \overrightarrow{AM} &= 0& \\ \iff 1(x + 2) + 3(y - 0) + 5(z -2) &= 0& \\ \iff x + 3y + 5z +2 - 10 &= 0& \\ \iff x + 3y + 5z - 8 &= 0.& \end{aligned}\] Méthode 2: vérifier l'équation donnée. \[\begin{aligned} &x_A + 3y_A + 5z_A - 8 = -2 + 3\times 0 + 5\times 2 - 8 = 0\;;& \\ &x_B + 3y_B + 5z_B - 8 = -1 + 3\times 3 + 5\times 0 - 8 = 0\;;& \\ &x_C + 3y_C + 5z_C - 8 = 1 + 3\times (-1) + 5\times 2 - 8 = 0.& \end{aligned}\] Le plan dont on nous donne l'équation contient donc les points $A$, $B$ et $C$. Or ces points ne sont pas alignés, donc définissent un plan unique. Ce plan est donc bien le plan $(ABC)$.

2.c. \[\begin{aligned} &x_D + 3y_D + 5z_D - 8 = 0 + 3\times 0 + 5\times 3 - 8 = -5& \\ \implies &x_D + 3y_D + 5z_D - 8 \neq 0.& \end{aligned}\] Puisque le point $D$ n'appartient pas au plan $(ABC)$, les points $A,$ $B,$ $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.

3.a. La droite $\mathscr D_1$ passe bien par le point $D$ car \[t = 0 \implies \begin{cases}t = 0=x_D\\3t = 0=y_D\\3+5t = 3 =z_D\end{cases}.\] Selon sa représentation paramétrique, la droite $\mathscr D_1$ admet $\vec u_1\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix} = \vec n$ pour vecteur directeur. Elle est donc bien perpendiculaire à $(ABC)$.
La droite $\mathscr D_1$ est donc bien la hauteur issue de $D$ du tétraèdre $ABCD$.

3.b. Un point $M$ sera commun à $\mathscr D_1$ et $\mathscr D_2$ si et seulement si ses coordonnées peuvent être obtenues avec les représentations paramétriques des deux droites. Donc si et seulement si il existe deux réels $t$ et $s$ tels que: \[\begin{cases}t = 1+3s\\3t = -1 - 5s\\3 + 5t = 2 - 6s\end{cases}\] En utilisant l'égalité de la première ligne, ce système équivaut à \begin{align*} &\begin{cases}t = 1+3s\\3(1+3s) = -1 - 5s\\3+5(1+3s) = 2 - 6s\end{cases}& \\ \iff &\begin{cases}t = 1+3s \\3+9s = -1 - 5s\\3+5+15s = 2 - 6s\end{cases}& \\ \iff &\begin{cases}t = 1 + 3s\\14s = -4\\21s = -6 \end{cases}& \\ \iff &\begin{cases}t = 1+3s\\s=\frac{-4}{14}= -\frac27\\ s=\frac{-6}{21}= -\frac27\end{cases}& \\ \iff &\begin{cases}t = 1 - 3\times\left(-\frac 27\right) = \frac77-\frac{6}7=\frac17\\s=-\frac27\end{cases}.& \end{align*} Ce système admet une solution unique, donc les droites $\mathscr D_1$ et $\mathscr D_2$ sont sécantes.
Les coordonnées du point d'intersection sont \[\begin{cases}x = t = \frac{1}7\\ y = 3t = 3\times\frac{1}7 = \frac{3}7\\ z = 3+5t = 3+5\times\frac{39}7 = \frac{21}7+\frac{5}7=\frac{26}7\end{cases}\]

4.a. $H$ est l'intersection de $\mathscr D_1$ avec le plan $(ABC)$.
Puisque $H$ est sur $\mathscr D_1$, il existe un réel $t$ pour lequel $H(t;3t;3+5t)$.
$H$ est de plus sur le plan $(ABC)$, donc \begin{align*} &x_H + 3y_H + 5z_H - 8 = 0& \\ \iff &t + 3(3t) + 5(3+5t) - 8 = 0& \\ \iff &35t + 7 = 0& \\ \iff &t = -\frac 7{35} = -\frac 1 5.& \end{align*} Les coordonnées de $H$ sont donc: \[\left(-\frac15;3\times\left(-\frac15\right);3+5\times\left(-\frac15\right)\right) =\left(-\frac15;-\frac35;2\right)\]

4.b. La distance de $D$ à $(ABC)$ n'est autre que $DH$. Or $\overrightarrow{DH}$ a pour coordonnées \[\begin{pmatrix}-\frac 15 - 0\\ -\frac35 - 0 \\2 - 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac15\\-\frac35\\-1\end{pmatrix}.\] Donc: \[\begin{aligned} DH &= \sqrt{\left(-\frac15\right)^2+\left(-\frac35\right)^2 + (-1)^2}& \\ &=\sqrt{\frac 1{25}+\frac9{25}+\frac{25}{25}}& \\ &= \sqrt{\frac{35}{25}}& \\ &= \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{25}}& \\ &= \frac{\sqrt{35}}5.& \end{aligned}\] Ce qui donne $DH\approx 1,18$.

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