corrigé AP-06/01

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1.a. Pour tout entier naturel $n$: \[u_{n+1} - 2 = u_n^2 - 2u_n +2 - 2 = u_n^2 - 2u_n = u_n(u_n - 2).\]

1.b. Pour tout entier naturel $n$: \[u_{n+1} - u_n = u_n^2 - 2u_n + 2 - u_n = u_n^2 - 3u_n + 2.\] Méthode 1 — simple vérification. \[(u_n -1)(u_n - 2) = u_n^2 - 2u_n - u_n + 2 = u_n^2 - 3u_n + 2.\] Donc on a bien: \[u_{n+1} - u_n = (u_n - 1)(u_n - 2).\] Méthode 2 — Factorisation. Soit le polynôme réel $P(X) = X^2 - 3x + 2$.
Il admet $1$ et $2$ pour racines car: \[\begin{aligned} P(1) &= 1^2 - 3\times 1 + 2 = 0\;; \\ P(2) &= 2^2 - 3\times 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0. \end{aligned}\] Donc il admet la forme factorisée : \[X^2 - 3X + 2 = (X - 1)(X-2).\] En posant $X = u_n$, on obtient bien que : \[u_n^2 - 3u_n + 2 = (u_n - 1)(u_n - 2).\]

2.a. Soit $\mathscr P(n)$ l'assertion dépendant de l'entier $n$:«$u_n < 2$».
Puisque $u_0 = a$ et $1 < a < 2$, $\mathscr P(0)$ est vérifiée.
Supposons, pour un entier naturel $n$ quelconque fixé, que $\mathscr P(n)$ est vérifiée. Alors: \[u_n < 2 \implies u_n - 2 < 0.\] D'autre part, il est précisé dans l'introduction que $u_n > 1$, donc $u_n$ est strictement positif.
Le produit $u_n(u_n - 2)$ contient un facteur strictement positif et un facteur strictement négatif donc il est strictement négatif. \[u_n(u_n - 2) < 0 \implies u_{n+1} - 2 < 0 \implies u_{n+1} < 2.\] Donc $\mathscr P(n+1)$ est aussi vérifiée.
Initialisée et héréditaire, l'assertion $\mathscr P(n)$ est donc vérifiée pour tout entier naturel $n$ par récurrence.

2.b. On a montré que $(u_n - 2)$ est strictement négative, et puisque $u_n > 1$, $u_n - 1$ est strictement positive.
Le produit $(u_n - 1)(u_n - 2)$ est donc strictement négatif.
Alors, pour tout entier naturel $n$: \[(u_n - 1)(u_n - 2) < 0 \implies u_{n+1}-u_n < 0 \implies u_{n+1} < u_n.\] La suite $(u_n)$ est donc (strictement) décroissante. Or elle est minorée par 1, donc elle est convergente.
Puisque la suite $(u_n)$ est strictement décroissante avec $u_0 = a < 2$, sa limite $\ell$ est aussi strictement inférieure à 2.
La fonction $x\mapsto x^2 - 2x + 2$ étant continue sur $\mathbb R$, $\ell$ vérifie la relation \[\ell^2 - 2\ell + 2 = \ell \iff \ell^2 - 3\ell + 2 =0.\] Le polynôme $x^2 - 3x + 2$ admet pour discriminant: $\Delta = (-3)^2 - 4\times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1$.
Ce discriminant est strictement positif, donc le polynôme admet deux racines. \[x_1 = \frac{3 - \sqrt 1}{2\times 1} = 1\ \text{et}\ x_2 = \frac{3+\sqrt 1}{2\times 1} = 2.\] On a indiqué que $\ell$ ne peut pas être égale à $2$, donc $\ell = 1$.

1. Au moment de l'appel de u(2,1), u prend la valeur 2.
On entre dans la boucle for qui ne tourne qu'une fois, pour la valeur k=0.
On calcule alors la nouvelle valeur de u :$2^2 - 2\times 2 + 2 = 2$.
Donc u(2,1) retourne la valeur 2.
L'appel de u(2,2) est similaire, sauf que la boucle for tourne deux fois, pour les valeurs k=0 puis k=1.
Comme la valeur de départ u=2 redonne après calcul u=2, la valeur finale retournée par u(2,2) sera encore 2.

2. Puisque u(2,1) retourne $u_1$ et u(2,2) retourne $u_2$, on a $u_0 = u_1 = u_2 = 2$, donc on peut conjecturer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2$.
(Ce qui se démontre très facilement par récurrence.)

1. Pour tout entier naturel $n$: \begin{align*} v_{n+1} &= \ln(u_{n+1}-1)& \\ &= \ln(u_n^2 - 2u_n + 2 -1)& \\ &=\ln(u_n^2 - 2u_n + 1)& \\ &=\ln\left[(u_n - 1)^2\right]& \\ &=2\ln(u_n - 1)& \\ &=2v_n.& \end{align*} Donc la suite $(v_n)$ est bien géométrique de raison $q=2$. Son premier terme est: \[v_0 = \ln(u_0 - 1) = \ln(a-1).\]

2. On en déduit que pour tout entier naturel $n$: \[v_n =q^n\cdot v_0 = 2^n\ln(a-1).\] Or: \[v_n = \ln(u_n - 1) \iff \mathrm e^{v_n} = u_n - 1 \iff u_n = \mathrm e^{v_n} + 1.\] Donc finalement: \[u_n = \mathrm e^{2^n\ln(a-1)} + 1.\]

3. On sait déjà que puisque $2>1$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 2^n = +\infty$.
Si $1 < a < 2$: \begin{align*} &0 < a - 1 < 1& \\ \implies &\ln(a-1) < 0& \\ \implies &\lim_{n\to+\infty} 2^n\times\ln(a-1) = -\infty& \\ \implies &\lim_{n\to+\infty}\mathrm e^{2^n\times\ln(a-1)} = 0& \\ \implies &\lim_{n\to+\infty}1+\mathrm e^{2^n\times\ln(a-1)} = 1.& \end{align*} Si $a = 2$: la suite est constante égale à 2, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 2$.
Si $a > 2$, \begin{align*} &a - 1 > 1 \\ \implies &\ln(a-1) > 0& \\ \implies &\lim_{n\to+\infty} 2^n\times\ln(a-1) = +\infty& \\ \implies &\lim_{n\to+\infty}\mathrm e^{2^n\times\ln(a-1)} = +\infty& \\ \implies &\lim_{n\to+\infty}1+\mathrm e^{2^n\times\ln(a-1)} = +\infty.& \end{align*}

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