AP-07/01

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1. Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées: \[\left(\frac{1+0}2;\frac{0,5+2}2;\frac{2+0,5}2\right) =\left(0,5\;;\;1,25\;;\;1,25\right).\]

2. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées \[\begin{pmatrix}0 - 1\\22 - 0,5\\0,5 - 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\1,5\\-1,5\end{pmatrix}.\]

3. Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées \[\begin{pmatrix}3 - 1\\2,5 - 0,5\\7 - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}.\] $\dfrac{x_{\overrightarrow{AC}}}{x_{\overrightarrow{AB}}} = \dfrac{2}{-1} = -2$ mais $\dfrac{y_{\overrightarrow{AC}}}{y_{\overrightarrow{AB}}} = \dfrac{2}{1,5}=\dfrac 4 3$.
Donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires, ce qui signifie que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

4. Puisque $(d)$ est parallèle à $(AB)$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ dirige la droite $(d)$. Sachant qu'elle passe de plus par $D$, une représentation paramétrique de $(d)$ est \[\begin{cases}x = x_D + x_{\overrightarrow{AB}}t\\y = y_D + y_{\overrightarrow{AB}}t\\x = z_D + z_{\overrightarrow{AB}}t\end{cases}(t\in\mathbb R) \iff \begin{cases}3 - t\\-2,5 + 1,5t\\ 1 - 1,5t\end{cases}(t\in\mathbb R).\]

5. On rappelle que $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1,5\\-1,5\end{pmatrix}$. On calcule rapidement que $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}2\\-3\\-1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$.
Il est clair que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AE}$ ne sont pas colinéaires, donc les vecteurs $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AB}$ seront coplanaires si et seulement s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que: \[a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD}.\] Cela se traduit sur les coordonnées par \[\begin{cases}-a + 0b = 2\qquad(1)\\1,5a + 0b = -3\qquad(2)\\-1,5a + 2b = -1\qquad(3)\end{cases}\] L'équation (1) donne $a = -2$.
l'équation (2) donne aussi $ a = \dfrac{-3}{1,5} = -2$.
L'équation (3) devient: \[-1,5\times (-2) + 2b = -1 \iff b =-2.\] Donc : \[-2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD}\] Ces vecteurs sont coplanaires, donc les points $A$, $B$, $D$ et $E$ aussi.

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code : 203