SUP-05/01
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1.
Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{CK}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{CF}}$ ont pour
coordonnées
\[\overrightarrow{\mathrm{CK}}\begin{pmatrix}0\\-1/2\\1\end{pmatrix}
\quad\text{et}\quad
\overrightarrow{\mathrm{CF}}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}.\]
S'il existait un réel $k$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{CK}}=k\overrightarrow{\mathrm{CF}}$
alors, en considérant les ordonnées, on devrait avoir $-\dfrac12 = 0k$.
C'est impossible, donc un tel réel $k$ n'existe pas, ce qui signifie que les vecteurs
$\overrightarrow{\mathrm{CK}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{CF}}$ ne sont pas colinéaires.
Les points C, F et K ne sont donc pas alignés et définissent donc
bien un plan.
2.a. $\mathrm{KG} = \dfrac 12\mathrm{HG} = \dfrac12$; $\mathrm{GF}=\mathrm{GC} = 1$ (car HG, GF et GC sont des arêtes du cube).
2.b. Le triangle FGC est rectangle en G donc son aire est \[\mathcal A_{\mathrm{FGC}} = \frac{\mathrm{GF}\times\mathrm{GC}}2 = \frac{1\times 1}2 = \frac 1 2.\]
2.c. [KG] est la hauteur du tétraèdre associée à la base FGC donc son volume est \[\mathcal V_{\mathrm{FGCK}} = \frac{\mathcal A_{\mathrm{FGC}} \times KG} 3 =\frac{\frac 1 2 \times \frac 1 2} 3 = \frac{1}{12}.\]
3.a. On constate que: \[\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{CK}}\cdot \vec n &=0\times 1 - \frac 1 2 \times 2 + 1\times 1 = 0-1+1 = 0\;;& \\ \overrightarrow{\mathrm{CF}}\cdot \vec n &=-1\times 1 + 0\times 2 + 1\times 1 = -1+0+1 = 0.& \end{aligned}\] Donc $\vec n$ est orthogonal à une paire de vecteurs directeurs du plan (CFK). C'est un vecteur normal de ce plan.
3.b.
Le point C a pour coordonnées $\mathrm C(1;1;0)$.
Un point $M(x,y,z)$ appartient à (CFK) si et seulement si
\[\begin{aligned}
\overrightarrow{\mathrm{CM}}\cdot\vec n &=0&
\\ \iff
1(x-1) + 2(y-1) + 1z &=0&
\\ \iff
x -1 + 2y -2 + z &=0&
\\ \iff
x + 2y + z - 3 &= 0.&
\end{aligned}\]
L'équation $x + 2y + z - 3 = 0$ est donc bien une équation cartésienne de (FGC).
4.
Le point $G$ a pour coordonnées $\mathrm G(1;1;1)$.
De plus, puisque $\Delta$ est perpendiculaire au plan (CFK), elle admet $\vec n$
pour vecteur directeur.
Un point $M(x,y,z)$ est sur $\Delta$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que
\[\overrightarrow{\mathrm{GM}}=k\vec n.\]
Cela se traduit sur les coordonnées par
\[\begin{cases}x - 1 = 1t\\y - 1 = 2t\\z-1 = 1t\end{cases}
\iff
\begin{cases}x = 1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases}\]
Donc $\Delta$ admet bien la représentation paramétrique proposée.
5.a.
Puisque L est sur $\Delta$, il existe un réel $t$ tel que : $\mathrm M(1+t;1+2t;1+t)$.
De plus, il est aussi sur le plan (CFK), donc ses coordonnées en vérifient l'équation cartésienne:
\[\begin{aligned}
x_{\mathrm L} + 2y_{\mathrm L} + z_{\mathrm L} - 3 &= 0&
\\ \iff
1+t + 2(1+2t) + 1+t - 3 &=0&
\\ \iff
1 + t + 2 + 4t + 1 + t - 3&=0&
\\ \iff
6t + 1 &= 0&
\\ \iff
t &= -\frac 16.&
\end{aligned}\]
Donc:
\[\begin{aligned}
x_{\mathrm F} &= 1 + t = 1 - \frac 1 6 = \frac 56\;;&
\\
y_{\mathrm F} &= 1 + 2t = 1 -2\times\frac 1 6 = \frac 23\;;&
\\
z_{\mathrm F} &= 1 + t = \frac 56.&
\end{aligned}\]
Donc : $\mathrm F\left(\dfrac 56;\dfrac23;\dfrac56\right)$.
5.b. Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{LG}}$ a pour coordonnées \[\begin{pmatrix}1 - \frac56\\1-\frac23\\1-\frac56\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac16\\ \frac13\\ \frac16\end{pmatrix}.\] Donc: \[\begin{aligned} \mathrm{LG} &= \sqrt{\left(\frac16\right)^2 + \left(\frac13\right)^2+\left(\frac16\right)^2}& \\ &=\sqrt{\frac1{36}+\frac19+\frac1{36}}& \\ &=\sqrt{\frac{1+4+1}{36}}& \\ &=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{36}}& \\ &=\frac{\sqrt 6}6.& \end{aligned}\]
5.c. [LG] est la hauteur de FGCK associée à la base CFK. Si l'on note $\mathcal A_{\mathrm{CFK}}$ l'aire du triangle CFK, on a: \[\begin{aligned} \frac{\mathrm{LG}\times\mathcal A_{\mathrm{CFK}}} 3 &= \mathcal V_{\mathrm{FGCK}}& \\ \iff \frac{\frac{\sqrt 6}6 \times \mathcal A_{\mathrm{CFK}}} 3 &= \frac 1{12}& \\ \iff \frac{\sqrt 6}6 \times \mathcal A_{\mathrm{CFK}} &= \frac 3{12}& \\ \iff \mathcal A_{\mathrm{CFK}} &= \frac 3{12}\times \frac{6}{\sqrt 6}& \\ \iff \mathcal A_{\mathrm{CFK}} &= \frac{3}{2\sqrt 6}.& \end{aligned}\] L'aire du triangle CFK est donc \[\frac{3}{2\sqrt 6} = \frac{3\sqrt 6}{2\left(\sqrt 6\right)^2} = \frac{3\sqrt 6}{2\times 6} = \frac{\sqrt 6} 4.\]
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code : 202