SUP03-11

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\[\small\begin{aligned} 1^2 + 2^2 &= 1+4 = 5& &\text{et}&\frac{3^2 +1}2 &= \frac{9+1}2 = \frac{10}2 = 5.& \\ 2^2 +3^2 &= 4+9 = 13& &\text{et}& \frac{5^2+1}2 &= \frac{25+1}2 = \frac{26}2=13.& \\ 3^2 + 4^2 &= 9+16=25& &\text{et}& \frac{7^2+1}2 &= \frac{49+1}2 = \frac{50}2 = 25.& \\ 4^2 + 5^2 &= 16+25 = 41& &\text{et}& \frac{9^2+1}2 &= \frac{81+1}2 =\frac{82}2 = 41.& \end{aligned}\]

On peut proposer la formule \[n^2 + (n+1)^2 = \frac{\big(n+(n+1)\big)^2+1}2 = \frac{(2n+1)^2+1}2.\] où $n$ désigne un entier naturel non nul.

Démonstration de la formule. Le membre de gauche se développe en : \[n^2 + (n+1)^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1.\] Le membre de droite se développe en : \[\begin{aligned} \frac{(2n+1)^2 + 1}2 &= \frac{(2n)^2 + 2\cdot 2n \cdot 1 + 1^2 +1}2& \\ &=\frac{4n^2 + 4n + 2}2& \\ &= \frac{\cancel 2(2n^2 + 2n +1)}{\cancel 2}& \\ &= 2n^2 + 2n + 1.& \end{aligned}\] Ces deux membres sont donc bien égaux.

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code : 188