AP03-06

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1. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et pour tout réel $x$: \[f'(x) = 3x^2 -3.\] Le polynôme $3x^2 - 3$ a pour racines évidentes $1$ et $-1$, son coefficient principal est $3$, donc positif, ce qui signifie que le polynôme est positif à l'extérieur de ses racines.
Donc :

• Sur $]-\infty; -1]$, $f'$ est positive et donc $f$ est croissante.
• Sur $[-1;1]$, $f'$ est négative et donc $f$ est décroissante.
• Sur $[1;+\infty[$, $f'$ est positive et donc $f$ est croissante.

2. La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb R$ et \[\forall x\in\mathbb R,\quad g'(x) = 1\times \mathrm e^x + x\mathrm e^x =(1+x)\mathrm e^x.\] Puisque $\mathrm e^x > 0$, $g'(x)$ est du signe de $1+x$.
La fonction $x\mapsto 1+x$ s'annule en $x=-1$, elle a un coefficient directeur positif (1), donc elle est croissante, ce qui implique qu'elle est négative à gauche de $-1$ et positive à droite de $1$.
Donc:

• Sur $]-\infty;-1]$, $g'$ est négative et donc $g$ est décroissante.
• Sur $[-1;+\infty[$, $g'$ est positive et donc $g$ est croissante.

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code : 175