AP03-05

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1. Pour tout réel $x$: \[\varphi'(x) = 1\cdot\mathrm e^x + x\mathrm e^x - \mathrm e^x = x\mathrm e^x.\] Puisque l'exponentielle est strictement positive, $\varphi'(x)$ est du signe de $x$.
Donc :

• Sur $]-\infty;0]$, $\varphi'$ est négative et donc $\varphi$ est décroissante.
• Sur $[0;+\infty[$, $\varphi'$ est positive et donc $\varphi$ est croissante.

$\varphi$ admet donc un minimum sur $\mathbb R$ en $0$, minimum égal à: \[\varphi(0) = 0\mathrm e^0 - \mathrm e^0 + 1 = 0 - 1 + 1 = 0.\]

2.a. Pour tout $x\in\mathbb R^*$: \[f'(x) =\frac{\mathrm e^x\cdot x - (\mathrm e^x - 1)\cdot 1}{x^2} =\frac{x\mathrm e^x - \mathrm e^x + 1}{x^2} \]

2.b. On remarque que pour tout réel $x$ non nul : \[f'(x) = \frac{\varphi(x)}{x^2}.\] Or $\varphi$ admet 0 pour minimum, donc $\varphi(x)$ est positif, et il en va de même pour $x^2$. Pour tout réel $x$ non nul, $f'(x)$ est positive.
La fonction $f$ est donc croissante sur $]-\infty;0[$ ainsi que sur $]0;+\infty[$.

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code : 174