AP03-01

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a. $f$ est dérivable sur $D=\mathbb R_*$ et pour tout réel $x$ de $D$: \[f'(x) = -\frac 2 {x^2} + 2x.\]

b. $f$ est dérivable sur $D = ]0;+\infty[$ et pour tout réel $x$ de $D$: \[f'(x) = 5x^4 -\frac 1 {x^2} - \frac{1}{2\sqrt x}.\]

c. $f$ est dérivable sur $D = \mathbb R^*$. De plus, $f = -\dfrac 3 2 \times \dfrac 1 x$. Donc pour tout réel $x$ de $D$: \[f'(x) = -\frac 3 2 \times \left(-\frac 1 {x^2}\right) = \frac{3}{2x^2}.\]

d. $f$ est dérivable sur $D=\mathbb R^*$ et pour tout réel $x\in D$: \[f(x) = \frac{2x^2+1}{x} = \frac{2x^2}x + \frac 1 x = 2x + \frac 1 x.\] Donc \[f'(x) = 2 - \frac 1 {x^2}.\]

e. $f$ est dérivable sur $D=]0;+\infty[$ et pour tout $x\in D$: \[\begin{aligned} f'(x) &= 1\cdot\sqrt x + x \cdot \frac{1}{2\sqrt x}& \\ &= \sqrt x + \frac{x}{2\sqrt x}& \\ &=\frac{\sqrt x \cdot 2\sqrt x}{2\sqrt x} + \frac x {2\sqrt x}& \\ &=\frac{2x + x}{2\sqrt x}& \\ &=\frac{3x}{2\sqrt x}.& \end{aligned}\]

f. $f$ est dérivable sur $D=\mathbb R^*$ et pour tout $x\in D$: \[f'(x) = \frac{-4x^{-5}}{8} = -\frac{x^{-5}}2.\]

g. $f$ est dérivable sur $D=\mathbb R$ et pour tout $x\in D$: \[f'(x) = -1.\]

h. Le quotient $x^2+2$ n'est jamais nul, donc $f$ est dérivable sur $D = \mathbb R$. Pour tout $x\in D$: \[\begin{aligned} f'(x) &=\frac{2x(x^2+2) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2+2)^2}& \\ &=\frac{2x^3 + 4x - 2x^3 + 2x}{(x^2+2)^2}& \\ &=\frac{6x}{(x^2+2)^2}.& \end{aligned}\]

i. Le dénominateur $2x^2-x - 1$ admet pour racine évidente $x_1 = 1$. Son autre racine $x_2$ vérifie donc \[x_1x_2 = \frac c a \implies x_2 = -\frac 1 2.\] La fonction $f$ est donc dérivable sur \[D = \mathbb R\setminus\left\{-\dfrac 1 2;1\right\} = \left]-\infty;-\dfrac 12\right[\cup\left]-\dfrac 1 2;1\right[\cup]1;+\infty[.\] Pour tout $x\in D$: \[ \begin{aligned} f'(x) &=\frac{(10x -3)(2x^2 - x - 1) - (5x^2 - 3x + 2)(4x - 1)}{(2x^2-x-1)^2}& \\ &=\frac{20x^3-6x^2-10x^2+3x-10x+3}{(2x^2-x-1)^2}& \\ &\qquad-\frac{20x^3-5x^2-12x^2+3x + 8x - 2}{(2x^2-x-1)^2}& \\ &=\frac{20x^3-16x^2-7x+3-20x^3+17x^2-11x+2}{(2x^2-x-1)^2}& \\ &=\frac{x^2 - 18x + 5}{(2x^2-x-1)^2}.& \end{aligned} \]

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code : 170