AUT01-06

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$AED$ est un triangle rectangle en $E$ donc: \[\begin{aligned} AD^2 &= AE^2 + ED^2 = x^2 + x^2 = 2x^2& \\ \implies AD &= \sqrt{2x^2} =\sqrt{2}\times\sqrt{x^2} = \sqrt 2 x.& \end{aligned}\] On admet que le triangle $ADC$ est rectangle en $D$ (démo plus bas). Alors \[\begin{aligned} AC^2 &= AD^2 + DC^2 = 2x^2 + 2x^2 = 4x^2& \\ \implies AC &= \sqrt{4x^2} = \sqrt{4}\times \sqrt{x^2} = 2x.& \end{aligned}\] Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ donc: \[\begin{aligned} BC^2 &= AB^2 + AC^2 = 4x^2 + 4x^2 = 8x^2& \\ \implies BC &= \sqrt{8x^2} = \sqrt{8}\times \sqrt{x^2} = 2\sqrt 2 x.& \end{aligned}\]

Preuve que le triangle $ADC$ est rectangle en $D$.
Puisque le triangle $AED$ est isocèle en $E$ on a: \[\widehat{EAD} = \widehat{EDA}.\] La somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180° donc : \begin{align*} \widehat{AED} + \widehat{EDA} + \widehat{EAD} &= 180& \\ \implies 90 + 2\widehat{EAD} &= 180& \\ \implies 2\widehat{EAD} &= 180 - 90& \\ \implies \widehat{EAD}&=45\text{°}.& \end{align*} Puisque $\widehat{EAC}=90\text{°}$ : \[\begin{aligned} \widehat{EAD}+\widehat{DAC}&=90& \\ \implies \widehat{DAC} &= 90 - \widehat{EAD} = 90 - 45 = 45.& \end{aligned}\] Le triangle $ADC$ est isocèle en $D$, donc $\widehat{ACD} = \widehat{DAC}=45\text{°}$.
La somme de ses angles est égale à 180°, donc : \begin{align*} \widehat{ADC}+\widehat{ACD}+\widehat{DAC} &= 180& \\ \implies \widehat{ADC} &= 180 - \widehat{ACD} - \widehat{DAC}& \\ \implies \widehat{ADC} &= 180 - 2\times 45 = 90\text{°}.& \end{align*} Le triangle $ADC$ est donc bien rectangle en $D$.

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code : 160