AP02-05

retour

1. Puisque $-1<\dfrac 2 5<1$, la suite de terme général $\left(\dfrac 2 5\right)^n$ tend vers $0$. Il en va de même de la suite de terme général $3\left(\dfrac 2 5\right)^n$.

2. Puisque $2>1$, la suite de terme général $2^n$ tend vers $+\infty$. C'est aussi le cas de la suite de terme général $n$, donc la suite de terme général $n+2^n$ tend vers $+\infty$.

3. On sait que : \[\begin{aligned} 1 + \frac 1 3 + \left(\frac 1 3\right)^2 + \cdots + \left(\frac 1 3\right)^n &= \frac{1-\left(\frac 1 3\right)^{n+1}}{1-\frac 1 3}& \\ &= \frac 3 2 \left[1 - \left(\frac 1 3\right)^{n+1}\right].& \end{aligned}\] Or puisque $-1<\dfrac 1 3 < 1$ : \[\begin{aligned} \lim_{n\to+\infty} \left(\frac 1 3\right)^{n+1} &= 0& \\ \implies \lim_{n\to+\infty} 1-\left(\frac 1 3\right)^{n+1} &= 1& \\ \implies \lim_{n\to+\infty} \frac 3 2 \left[1 - \left[\frac 1 3\right)^{n+1}\right] &= \frac 3 2.& \end{aligned}\]

retour

code : 143