AP02-05

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1. Puisque $-1<{\displaystyle \frac{2}{5}}<1$, la suite de terme général ${\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n$ tend vers $0$. Il en va de même de la suite de terme général $3{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n$.

2. Puisque $2>1$, la suite de terme général $2^n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. C'est aussi le cas de la suite de terme général $n$, donc la suite de terme général $n+2^n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

3. On sait que : $$\begin{array}{rlr}1+\frac{1}{3}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{1}{3}\right)}^n& =\frac{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}& \\ & =\frac{3}{2}[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}].& \end{array}$$ Or puisque $-1<{\displaystyle \frac{1}{3}}<1$ : $$\begin{array}{rlr}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}& =0& \\ ⟹\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}& =1& \\ ⟹\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3}{2}[1-{\left[\frac{1}{3}\right)}^{n+1}]& =\frac{3}{2}.& \end{array}$$

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code : 143