AP02-04

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1. Les termes $4n$ et $n^2$ tendent tous deux vers $+\mathrm{\infty }$, donc leur somme aussi : $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{n}^2+4n=+\mathrm{\infty }.$$

2. Les termes $n^2$ et $n+1$ tendent tous deux vers $+\mathrm{\infty }$, donc leur somme $n^2+n+1$ aussi. Par conséquent, 3 divisé par cette somme tend vers 0. $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3}{n^2+n+1}=0.$$

3. Puisqu'il s'agit d'une forme indéterminée, on procède à une factorisation « forcée ». Pour $n\ne 0$: $$u_n=4n^3-3n+1=n^3(4-\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}).$$ Or : $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3}{n^2}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^3}⟹\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}4-\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}=4.$$ et d'autre part : $${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{n}^3=+\mathrm{\infty }.}$$ Donc : $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }.$$

4. Ici aussi, on lève l'indéterminée à l'aide de factorisations « forcées ». Pour $n\ne 0$: $$\begin{array}{rlr}{u}_n& =\frac{4n^3-3n+1}{n^2+3n-2}& \\ & =\frac{n^3(4-\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3})}{n^2(1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2})}& \\ & =n\times \frac{4-\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}}& \end{array}$$ Puisque les quotients ${\displaystyle \frac{3}{n^2}}$, ${\displaystyle \frac{1}{n^3}}$, ${\displaystyle \frac{3}{n}}$ et $-{\displaystyle \frac{2}{n^2}}$ tendent vers 0, le quotient tend vers 4.
Il est multiplié par $n$ qui tend vers $+\mathrm{\infty }$, donc : $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }.$$

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