AP02-04

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1. Les termes $4n$ et $n^2$ tendent tous deux vers $+\infty$, donc leur somme aussi : \[\lim_{n\to +\infty} n^2+4n = +\infty.\]

2. Les termes $n^2$ et $n+1$ tendent tous deux vers $+\infty$, donc leur somme $n^2 +n + 1$ aussi. Par conséquent, 3 divisé par cette somme tend vers 0. \[\lim_{n\to+\infty}\frac{3}{n^2 + n +1} = 0.\]

3. Puisqu'il s'agit d'une forme indéterminée, on procède à une factorisation « forcée ». Pour $n\neq 0$: \[ u_n = 4n^3 - 3n +1 = n^3\left(4 - \frac 3 {n^2} + \frac 1{n^3}\right).\] Or : \[\lim_{n\to +\infty} \frac 3 {n^2} = \lim_{n\to+\infty} \frac 1 {n^3} \implies \lim_{n\to +\infty} 4 - \frac 3 {n^2} + \frac 1 {n^3} = 4.\] et d'autre part : \[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n^3 = +\infty.\] Donc : \[\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty.\]

4. Ici aussi, on lève l'indéterminée à l'aide de factorisations « forcées ». Pour $n\neq 0$: \[\begin{aligned} u_n &= \frac{4n^3 - 3n + 1}{n^2 +3n -2}& \\ &=\frac{n^3\left(4 - \frac 3 {n^2} + \frac 1 {n^3}\right)}{n^2\left(1 + \frac 3 n - \frac 2 {n^2}\right)}& \\ &= n \times \frac{4 - \frac 3 {n^2} + \frac 1 {n^3}}{1 + \frac 3 n - \frac 2 {n^2}}& \end{aligned}\] Puisque les quotients $\dfrac 3 {n^2}$, $\dfrac 1 {n^3}$, $\dfrac 3 n$ et $-\dfrac 2 {n^2}$ tendent vers 0, le quotient tend vers 4.
Il est multiplié par $n$ qui tend vers $+\infty$, donc : \[\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty.\]

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