AP02-03

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a. Puisque $3>1$, $3^n$ tend vers $+\infty$.

b. Puisque $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n = +\infty$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac 1 2 n = +\infty$ et donc que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac 1 2 n - 3 = +\infty$.

c. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n^2 = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 3n = +\infty$ donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n^2 + 3n = +\infty$.

d. Puisqu'il y a F.I., procédons à une factorisation. Pour $n\neq 0$: \[n - n^2 = n^2\left(\frac 1 n - 1\right).\] Or: $\dfrac 1 n$ tend vers 0, donc le facteur $\dfrac 1 n - 1$ tend vers $-1$.
L'autre facteur, $n^2$, tend vers $+\infty$, donc la suite tend vers $-\infty$.

e. Puisqu'il y a une F.I., procédons à une factorisation. Pour $n\neq 0$: \[\frac{5n -8}{2n + 3} = \frac{n\left(5 - \frac 8 n\right)}{n\left(2 + \frac 3 n\right)} =\frac{5 - \frac 8 n}{2 + \frac 3 n}.\] Puisque $\dfrac 8 n$ tend vers 0, le numérateur tend vers 5. Puisque $\dfrac 3 n$ tend vers 0, le dénominateur tend vers 2.
La suite tend donc vers $\dfrac 5 2$.

f. Puisqu'il y a F.I., on réalise une factorisation. \[\frac{n^3 + 5n^2 - 2n}{n^2 + 3} =\frac{n^3\left(1 + \frac 5 n - \frac 2 {n^2}\right)}{n^2\left(1 + \frac 3 {n^2}\right)} =n \times \frac{ 1 + \frac 5 n + \frac 2 {n^2}}{1 + \frac 3 {n^2}}.\] Puisque $\dfrac 5 n$ et $\dfrac 2 {n^2}$ tendent vers 0, le numérateur tend vers 1.
Puisque $\dfrac 3 {n^2}$ tend vers 0, le dénominateur tend aussi vers 1.
Le quotient tend donc vers 1, et il est multiplié par $n$ qui tend vers $+\infty$. La suite a donc pour limite $+\infty$.

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