AP02-02

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1. $u_1 = \dfrac 1 4 u_0 + 3 = \dfrac 1 4 \times 8 +3 = 5$.

2. Notons $\mathcal A(n)$ l'assertion « $u_{n+1} \le u_n$ ».
(Initialisation). Puisque $u_0 = 8$ et $u_1 = 5$, on a bien $u_1 \le u_0$. Donc $\mathcal A(0)$ est vraie.
(Hérédité). Si, pour un entier $n$ quelconque, $\mathcal A(n)$ est vraie, alors \[\begin{aligned} u_{n+1} &\le u_n& \\ \implies \frac 1 4 u_{n+1} &\le \frac 14 u_n& \\ \implies \frac 14u_{n+1} + 2 &\le \frac14 u_n + 2& \\ \implies u_{n+2} &\le u_{n+1}& \\ \implies u_{n+2} &\le u_{n+1}.& \end{aligned}\] Donc, pour n'importe quel entier $n$, $\mathcal A(n)\implies \mathcal A(n+1)$.
Par récurrence, $\mathcal A(n)$ est donc vraie pour tout entier naturel $n$.

3. Nous avons démontré dans la question précédente que chaque terme de la suite est inférieur au terme précédent. La suite $(u_n)$ est donc une suite décroissante.

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code : 140