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Démonstration par récurrence de la première égalité.
Notons $\mathcal P(n)$ l'assertion
\[\text{«}1+3+\cdots + (2n-1) = n^2.\text{»}\]
-
Si $n=1$, on a bien $1 = 1^2$, donc $\mathcal P(1)$ est vraie.
-
Supposons, pour $n\in\mathbb N^*$ donné, que $\mathcal P(n)$ est vraie. Alors :
\[\begin{aligned}
&\underbrace{1 + 3 + \cdots + (2n-1)}_{n^2} + (2n+1)&
\\
= &n^2 + 2n + 1&
\\
= &(n+1)^2.&
\end{aligned}\]
Donc $\mathcal P(n)$ vraie entraîne $\mathcal P(n+1)$ vraie aussi.
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Donc, par récurrence, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $\mathcal P(n)$ est vraie.
Démonstration par récurrence de la deuxième égalité.
Notons $\mathcal Q(n)$ l'assertion
\[\text{«}1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)} 2\right)^2.\text{»}\]
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Si $n = 1$, $1^3 = 1$ et $\left(\dfrac{1 \times (1+1)}{2}\right)^2 = 1^2 = 1$.
Donc $\mathcal Q(1)$ est vraie.
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Supposons $\mathcal Q(n)$ vraie. Alors :
\begin{align*}
\underbrace{1^3 + \cdots + n^3}_{\text{H.R.}} + (n+1)^3
&=
\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2 + (n+1)^3&
\\
&=\frac{n^2(n+1)^2} 4 + (n+1)^3&
\\
&=(n+1)^2 \left(\frac{n^2}4 + (n+1)\right)&
\\
&=(n+1)^2 \times \frac{n^2 + 4n + 4}{4}&
\\
&=(n+1)^2 \times \frac{(n+2)^2} 4&
\\
&=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{2^2}&
\\
&=
\left(\frac{(n+1)(n+2)}2\right)^2.&
\end{align*}
On a donc bien $\mathcal Q(n) \implies \mathcal Q(n+1)$.
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Donc, par récurrence, $\mathcal Q(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb N^*$.
Démonstration de:
$\left(\dfrac{n(n+1)}2\right)^2 = (1+\cdots + n)^2$.
Puisque, selon le cours $\dfrac{n(n+1)}2 = 1+2+\cdots + n$, on a bien
\[\left(\dfrac{n(n+1)}2\right)^2 = (1+\cdots + n)^2.\]
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