AP-01/08

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Soit $\mathcal A(n)$ l'assertion « $v_n = (-3)^n+2$ ».

Si $n=1$, $(-3)^1+2 = -3+2 = -1$ et $v_1 = -1$. Donc $\mathcal A(0)$ est vraie (initialisation).

Supposons que pour un entier naturel $n$ quelconque, $\mathcal A(n)$ soit vérifiée. Alors \[v_n = (-3)^n + 2.\] Donc : \[\begin{aligned} v_{n+1} &= -3v_n + 8& \\ &=-3\left((-3)^n + 2\right) + 8& \\ &=-3\times (-3)^n -3\times 2 + 8& \\ &=(-3)^{n+1} - 6 + 8& \\ &=(-3)^{n+1} + 2.& \end{aligned}\] Donc $\mathcal A(n+1)$ est aussi vérifiée (hérédité).

Par récurrence, l'assertion $\mathcal A(n)$ est donc vérifiée pour tout entier naturel non nul $n$.

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code : 132