AP-01/07

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1. On a: \begin{align*} u_2 &= \frac{1+1}{2\times 1} u_1 = \frac 2 2 \times \frac 1 2 = \frac 1 2;&\\ u_3 &=\frac{2+1}{2\times 2} \times \frac 1 2 = \frac 3 8;&\\ u_4 &=\frac{3+1}{2\times 3}\times\frac 3 8 = \frac 1 4.& \end{align*}

2.a. Pour tout $n\in\mathbb N^*$: \[v_{n+1} = \frac{u_{n+1}}{n+1} = \frac{\frac{n+1} n u_n}{n+1} = \frac{u_n}{2n} = \frac 1 2 \times \frac{u_n}{n} =\frac 1 2 v_n.\] Cette relation montre que $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac 1 2$ et de premier terme $v_1 = \dfrac{u_1}1=\dfrac 12$.

2.b. On en déduit que \[v_n = \left(\frac 1 2\right)^{n-1}v_1 = \left(\frac 1 2\right)^{n-1} \times \frac 1 2 = \left(\frac 1 2\right)^{n} = \frac 1 {2^n}.\] Or \[v_n = \frac{u_n}{n} \iff u_n = nv_n = \frac{n}{2^n}.\] On peut vérifier qu'on retrouve bien avec cette formule les premiers termes de la suite $(u_n)$.

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