a. On a : \[\begin{aligned} u_0 &= (3\times 0 + 1)^2 = 1^2 = 1\;;& \\ u_1 &= (3\times 1 +1 )^2 = 4^2 = 16\;;& \\ u_2 &= (3\times 2 + 1)^2 = 7^2 = 49.& \end{aligned}\] Donc: \[\begin{aligned} u_1 - u_0 &= 16 - 1 = 15\;;& u_2 - u_1 &= 49 - 16 = 33.& \end{aligned}\] Puisque $u_2 - u_1 \neq u_1 - u_0$, cette suite ne peut pas être arithmétique.

b. (Corrigé 1.) Pour tout entier naturel $n$ \[v_{n+1}-v_n = 22(n+1) - 22n = 22n + 22 - 22n = 22.\] La suite $(v_n)$ est donc arithmétique de raison 22.

b. (Corrigé 2.) En posant $v_0 = 0$ et $r = 22$, on peut écrire que pour tout entier naturel $n$ \[v_n = 0 + n\times 22 = v_0 + 22r.\] On reconnaît bien là le terme général d'une suite arithmétique de raison $r=22$.

c. Pour tout entier naturel $n$: \[\begin{aligned} w_{n+1}-w_n &= \left[(n+1)+1\right]-\left[n + 1\right]& \\ &=n+1+1-n-1& \\ &= 1.& \end{aligned}\] La suite $(w_n)$ est donc arithmétique de raison 1.
(On pouvait aussi procéder comme dans le corrigé 2 précédent.)

d. On a: \[\begin{aligned} x_0 &= 4,8(-1)^0 = 4,8\times 1 = 4,8\;;& \\ x_1 &= 4,8(-1)^1 = 4,8\times (-1) = -4,8.& \\ x_2 &= 4,8(-1)^2 =4,8\times 1 = 4,8.& \end{aligned}\] $x_1 - x_0 = -9,6$ et $x_2 - x_1 = 9,6$ ne sont pas égaux, donc la suite $(x_n)$ ne saurait être arithmétique.