Calculons les premiers termes : \[\begin{aligned} u_1 &= 0 \times u_0 = 0\;;& \\ u_2 &= 1 \times u_1 = 1\times 0 = 0\;;& \\ u_3 &= 2\times u_2 = 2\times 0 = 0.& \end{aligned}\] On voit que, à l'exception de $u_0$, les termes de la suite $(u_n)$ sont nuls. La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison 0.

Montrons ce résultat par récurrence. Soit $\mathcal A(n)$ l'assertion « $u_n = 0$ ».

$\mathcal A(1)$ est vraie. Si $\mathcal A(n)$ est vraie (pour $n$ entier naturel non nul quelconque), alors \[u_n = 0 \implies u_{n+1} = n u_n = n\times 0 = 0.\] Donc $\mathcal A(n+1)$ sera aussi vraie.

L'assertion $\mathcal A(n)$ est donc vraie pour tout entier naturel non nul.