1. Corrigé 1. Pour tout $n\in\mathbb N$: \[\begin{aligned} u_{n+1}-u_n &=\left[(n+1)^2 + 3(n+1) + 2\right]-\left[n^2+3n + 2\right]& \\ &=n^2 + 2n + 1 + 3n + 3 + 2 - n^2 - 3n - 2& \\ &=2n + 4.& \end{aligned}\] Or \[n\geqslant 0 \implies 2n \geqslant 0 \implies 2n + 4 \geqslant 4 \implies 2n + 4 > 0.\] Donc la suite $(u_n)$ est (strictement) croissante.

1. Corrigé 2. Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par \[f(x) = x^2 + 3x + 2.\] Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = f(n)$.
La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et pour tout $x\in[0;+\infty[$: \[f'(x) = 2x + 3.\] Or \[x \geqslant 0 \implies 2x + 3 \geqslant 3 \implies 2x + 3 > 0.\] La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$, donc la suite $(u_n)$ est, elle aussi, strictement croissante.

2. Corrigé 1. Pour tout $n\in\mathbb N$: \[\begin{aligned} v_{n+1}-v_n &=\frac{3(n+1) - 1}{2(n+1)+1} - \frac{3n-1}{2n+1}& \\ &=\frac{3n+3-1}{2n+2+1} - \frac{3n-1}{2n+1}& \\ &=\frac{3n+2}{2n+3} - \frac{3n-1}{2n+1}& \\ &=\frac{(3n+2)(2n+1)}{(2n+3)(2n+1)} - \frac{(3n-1)(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)}& \\ &=\frac{6n^2+3n+4n+2}{(2n+1)(2n+3)}-\frac{6n^2+9n-2n-3}{(2n+1)(2n+3)}& \\ &=\frac{6n^2 + 7n + 2 - (6n^2+7n - 3)}{(2n+1)(2n+3)}& \\ &=\frac{6n^2+7n+2-6n^2-7n+3}{(2n+1)(2n+3)}& \\ &=\frac 5 {(2n+1)(2n+3)}.& \end{aligned}\] Or, $n$ étant positif, les facteurs $(2n+1)$ et $(2n+3)$ sont strictement positifs et donc \[\frac{5}{(2n+1)(2n+3)} > 0 \implies v_{n+1}-v_n > 0.\] La suite $(v_n)$ est donc strictement croissante.

2. Corrigé 2. Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par \[f(x) = \frac{3x+1}{2x+1}.\] Pour tout entier naturel $n$, $u_n = f(n)$.
La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et pour tout $x\in[0;+\infty[$: \[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{3(2x+1) - (3x+1)\times 2}{(2x+1)^2}& \\ &=\frac{6x + 3 - 6x - 2}{(2x+1)^2}& \\ &=\frac 1 {(2x+1)^2}.& \end{aligned}\] Il est clair que $f'$ est strictement positive sur $[0;+\infty[$, donc $f$ est strictement croissante et donc $(u_n)$ aussi.

3. Soit $f$ la fonction définie par $x\mapsto \sqrt{x}$. Pour tout entier naturel $n$, on a $f(n) =w_n$.
Or on sait que la fonction $f$ est strictement croissante, donc la suite $(w_n)$ l'est aussi.

4. Pour tout entier naturel $n$ non nul : \[\begin{aligned} &z_{n+1} - z_n& \\ =&\left(1 + \frac 1 2 + \cdots + \frac 1 n + \frac 1 {n+1}\right) - \left(1 + \frac 1 2 + \cdots + \frac 1 n\right)& \\ =&\cancel{1} + \cancel{\frac 12} + \cdots + \cancel{\frac1n} + \frac 1{n+1} -\cancel{1} -\cancel{\frac 12} - \cdots - \cancel{\frac1n}& \\ &=\frac 1{n+1}.& \end{aligned}\] Puisque $n$ est positif, $\dfrac1{n+1}$ est strictement positif, donc la suite $(z_n)$ est strictement croissante.