Corrigé du 125 P. 80

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S'il existait un réel $k$ tel que $\vec v = k\vec u$ alors on aurait \[k = \frac{x_{\vec v}}{x_{\vec u}} = -2 \ \text{et}\ k = \frac{y_{\vec v}}{y_{\vec u}} = \frac 32.\] C'est impossible, donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
On peut donc affirmer que les vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que: \begin{align*} &\vec w = \alpha\vec u + \beta \vec v& \\ \iff &\begin{cases} -1 = \alpha - 2\beta\\ 0=-2\alpha - 3\beta 1=-\alpha + 2\beta \end{cases}& \\ \iff &\begin{cases} \alpha = 2\beta - 1\\ 0 = -2(2\beta -1)-3\beta\quad\text{(S)} \alpha = 2\beta - 1 \end{cases}& \\ \iff &\begin{cases} \alpha = 2\beta - 1\\ -4\beta + 2 - 3\beta = 0 \end{cases}& \\ \iff &\begin{cases} \alpha = 2\times \frac 2 7 - 1 = -\frac 3 7\quad\text{(S)}\\ \beta = \frac 2 7 \end{cases}& \end{align*} Puisque $\vec w = -\dfrac 3 7 \vec u + \dfrac 2 7 \vec v$, ces vecteurs sont bien coplanaires.

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