Corrigé du 121 P. 80

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Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$. \[\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}5 - 2\\-4-2\\8+4\end{pmatrix} \iff \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}3\\-6\\12\end{pmatrix}\] et \[\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} -2-3\\6+4\\8-3 \end{pmatrix} \iff \overrightarrow{CD} \begin{pmatrix}-5\\10\\5\end{pmatrix}. \] Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ seront colinéaires si et seulement s'il existe un réel $k$ tel que : \[\begin{aligned} &\overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{AB}& \\ \iff &\begin{cases}-5 = 3k\\10=-6k\\5=12k\end{cases}& \\ \iff &\begin{cases} k=-\frac 5 3\\k = -\frac{10}6 = -\frac 5 3\\k=-\frac 5 {12} \end{cases} \ \text{impossible !}& \end{aligned}\] Donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas colinéaires, ce qui implique que les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles.

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