Corrigé du 118 P. 80

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a. Décomposons selon l'origine $O$ du repère utilisé. \[\begin{aligned} \overrightarrow{AD}&=\frac13\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}& \\ \iff \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD} &= -\frac13(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}) + 2(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB})& \\ \iff \overrightarrow{OD} &= -\frac13\overrightarrow{OA}+\frac13\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}& \\ \iff \overrightarrow{OD}&=-\frac43\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+\frac13\overrightarrow{OC}.& \end{aligned}\] Donc le vecteur $\overrightarrow{OD}$ (ou le point $D$) a pour coordonnées: \[ -\frac43\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}+\frac13\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix} =\begin{bmatrix}-\frac43+4+\frac23\\ \frac42+8-1 \\ 0 -2 +\frac13\end{bmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{10}3 \\ \frac{25}3 \\ -\frac53\end{pmatrix} \]

b. Calculons directement à partir des coordonnées: \begin{flalign*} &\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix}2-1\\-3+1\\1-0\end{pmatrix} \iff \overrightarrow{CA}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}& \\ &\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}2-2\\-3-4\\1+1\end{pmatrix} \iff \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}0\\-7\\2\end{pmatrix}& \end{flalign*} Donc l'égalité $\overrightarrow{EA}=-3\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{BC}$ se traduit par \begin{flalign*} &\begin{pmatrix}1-x_E\\-1-y_E\\0-z_E\end{pmatrix} = -3\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}0\\-7\\2\end{pmatrix}& \\ \iff &\begin{cases}1-x_E = -3\\-1-y_E = 6-14\\-z_E = -3+4\end{cases} \iff \begin{cases}x_E = 4\\y_E = 7\\z_E = -1\end{cases}& \\ \iff &E(4;7;-1).& \end{flalign*}

c. Décomposons selon l'origine $O$ du repère \begin{flalign*} &3\overrightarrow{FA}+2\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{FC} = \overrightarrow{0}& \\ \iff &3\overrightarrow{FO}+3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{FO}+2\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{FO}-\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}& \\ \iff &4\overrightarrow{FO} = -3\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}& \\ \iff &\overrightarrow{FO} = -\frac34\overrightarrow{OA}-\frac12\overrightarrow{OB}+\frac14\overrightarrow{OC}& \\ \iff &\overrightarrow{OF} = \frac34\overrightarrow{OA}+\frac12\overrightarrow{OB}-\frac14\overrightarrow{OC}.& \end{flalign*} Cela se traduit sur les coordonnées par: \begin{flalign*} &\begin{pmatrix}x_F \\ y_F \\ z_F \end{pmatrix} =\frac34\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}+\frac12\begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}-\frac14\begin{pmatrix}2 \\-3\\1\end{pmatrix}.& \end{flalign*} Donc: \begin{flalign*} &x_F = \frac 34 + 1 - \frac12 = \frac54\;;& \\ &y_F = -\frac34 + 2 + \frac34 = 2\;; & \\ &z_F = -\frac12 -\frac14 = -\frac34 \end{flalign*} Donc $F\left(\dfrac54;2-\dfrac34\right)$.

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