Corrigé du 81 P. 76

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a. On a : \begin{align*} 7\overrightarrow{AP} - 2\overrightarrow{BP} &= \vec 0& \\ \iff 7\overrightarrow{AP} - 2\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AP}\right) - 2\overrightarrow{AP} &=\vec 0& \\ \iff 7\overrightarrow{AP} - 2\overrightarrow{BA} -2\overrightarrow{AP} &= \vec 0& \\ \iff 5\overrightarrow{AP} - 2\overrightarrow{BA} &= \vec 0& \\ \iff 5\overrightarrow{AP}&=2\overrightarrow{BA}& \\ \iff 5\overrightarrow{AP}&=-2\overrightarrow{AB}& \\ \iff \overrightarrow{AP}&=-\frac 2 5\overrightarrow{AB}.& \end{align*} Donc les vecteurs $\overrightarrow{AP}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.

b. \[\begin{aligned} 7\overrightarrow{AP} - 2\overrightarrow{BP} &= \vec 0& \\ \iff 7\overrightarrow{AP} &= 2\overrightarrow{BP}& \\ \iff \overrightarrow{AP} &= \frac 2 7 \overrightarrow{BP}& \\ \iff \overrightarrow{AP} &= -\frac 2 7 \overrightarrow{PB}.& \end{aligned}\] Les vecteurs $\overrightarrow{AP}$ et $\overrightarrow{PB}$ sont donc colinéaires.

c. On en déduit immédiatement que les points $A$, $P$ et $B$ sont alignés.

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