Corrigé du 80 P. 76

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a. On remarque que: \[-\frac 1 3 \vec u = -\frac 1 3\left(2\vec i + 3\vec j\right) =-\frac 2 3 \vec i - \vec j.\] Donc $\vec v = -\frac 1 3 \vec u$. Ces vecteurs sont donc colinéaires.

b. Il existe un réel $\alpha$ tel que $\vec w = \alpha\vec u$ si et seulement si: \begin{align*} 5\vec i - k\vec j &= \alpha\left(2\vec i + 3\vec j\right)& \\ \iff 5\vec i - k\vec j &= 2\alpha\vec i + 3\alpha\vec j& \\ \iff 5\vec i - 2\alpha\vec i - k\vec j -3\alpha\vec j &= \vec 0& \\ \iff (5-2\alpha)\vec i + (-k-3\alpha)\vec j &= \vec 0& \end{align*} Puisque $\vec i$ et $\vec j$ ne sont pas colinéaires, cette équation vectorielle équivaut à: \[\begin{cases} 5 - 2\alpha = 0\\-k-3\alpha = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} \alpha = \frac 5 2\\ -k-3\times \frac 5 2 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} \alpha = \frac 5 2\\ \boxed{k=-\frac{15}2} \end{cases} \]

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