Corrigé du 17 P. 67

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a. Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont non coplanaires, donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont non coplanaires.
Donc $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)$ est bien un repère de l'espace.

b. Dans ce repère, on peut déjà donner les coordonnées suivantes : \[A(0;0;0),\quad B(1;0;0),\quad C(0;1;0) \quad\text{et}\quad D(0;0;1).\] De plus, puisque $I$ est le milieu de $[AC]$: \[I\begin{pmatrix} \frac{0 + 0}2\\ \frac{0+1}2\\ \frac{0+0}2\end{pmatrix} \iff I\begin{pmatrix}0\\ \frac 1 2 \\ 0 \end{pmatrix}.\] $J$ est le milieu de $[BD]$ donc: \[J\begin{pmatrix}\frac{1+0}2\\\frac{0+0}2\\ \frac{0 + 1}2 \end{pmatrix} \iff J\begin{pmatrix} \frac 1 2\\ 0 \\ \frac 1 2 \end{pmatrix}.\] Coordonnées de $K$. \[\begin{aligned} 3\overrightarrow{CK} &= 2\overrightarrow{CD}& \\ \iff 3\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{AK} &= 2\overrightarrow{CA} + 2\overrightarrow{AD}& \\ \iff 3\overrightarrow{AK} &= -\overrightarrow{CA}+ 2\overrightarrow{AD}& \\ \iff \overrightarrow{AK} &= \frac 1 3\overrightarrow{AC}+\frac 2 3 \overrightarrow{AD}& \\ \iff K&\begin{pmatrix}0\\1/3\\2/3\end{pmatrix}.& \end{aligned}\] Coordonnées de $L$: \[3\overrightarrow{AL} = 2\overrightarrow{AB} \iff \overrightarrow{AL} = \frac 2 3 \overrightarrow{AB} \iff L\begin{pmatrix}2/3\\0\\0\end{pmatrix}.\] On en déduit que: \[ \overrightarrow{IJ} \begin{pmatrix}\frac 1 2 - 0\\0 - \frac 1 2\\ \frac 1 2 - 0\end{pmatrix} \iff \overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}1/2\\-1/2\\1/2\end{pmatrix}, \] \[ \overrightarrow{IK} \begin{pmatrix}0 - 0\\\frac 1 3 - \frac 1 2\\ \frac 2 3 - 0\end{pmatrix} \iff \overrightarrow{IK}\begin{pmatrix}0\\-1/6\\2/3\end{pmatrix} \] et \[ \overrightarrow{IL} \begin{pmatrix}\frac 2 3 - 0\\ 0 - \frac 1 2\\ 0 - 0 \end{pmatrix} \iff \overrightarrow{IL}\begin{pmatrix}2/3\\-1/2\\0\end{pmatrix}. \] Les vecteurs $\overrightarrow{IK}$, $\overrightarrow{IL}$ et $\overrightarrow{IJ}$ sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que \[\begin{aligned} \overrightarrow{IJ} &= \alpha\overrightarrow{IK} + \beta\overrightarrow{IL}& \\ \iff &\begin{cases} \frac 1 2 = 0\alpha + \frac 2 3\beta\\ -\frac 1 2 = -\frac 1 6\alpha - \frac 1 2\beta\\ \frac 1 2 = \frac 2 3\alpha + 0\beta \end{cases}& \\ \iff &\begin{cases} \beta = \frac 1 2 \times \frac 3 2\\ -\frac 1 2 = -\frac 1 6\alpha -\frac 1 2\beta \alpha = \frac 1 2 \times \frac 3 2 \end{cases}& \\ \iff &\begin{cases} \beta = \frac 3 4\\ -\frac 1 2=-\frac 1 6 \times \frac 3 4 - \frac 1 2 \times \frac 3 4\\ \alpha = \frac 3 4 \end{cases}& \\ \iff &\begin{cases} \beta = \frac 3 4\\ -\frac 1 2 = -\frac 1 2\\ \alpha = \frac 3 4 \end{cases}& \end{aligned}\] Puisque $\overrightarrow{IJ} = \frac 3 4\overrightarrow{IK}+\frac 3 4 \overrightarrow{IL}$, les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$, $\overrightarrow{IK}$ et $\overrightarrow{IL}$ sont coplanaires, donc les points $I$, $J$, $K$ et $L$ sont coplanaires.

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