Corrigé du 16 P. 67

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a. Coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. \[\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}1 - 2\\ -2 - 3\\ 3 + 1\end{pmatrix} \iff \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}-1\\-5\\4\end{pmatrix}\] et \[\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix}0-2\\ 1- 3\\ -2 + 1\end{pmatrix} \iff \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix}-2\\-2\\-1\end{pmatrix} \] Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ étaient colinéaires, il existerait un réel $k$ tel que \[\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB} \iff \begin{cases} -2 = -k\\ -2 = -5k\\ -1 = 4k \end{cases} \iff \begin{cases} k = 2 \\ k = -2/5 \\ k = -1/4 \end{cases}. \] C'est impossible, donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires, et par conséquent les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

b. Soit $D(x,y,z)$. Alors $ABCD$ sera un parallélogramme si et seulement si \[\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA} \iff \begin{cases} x - 0 = 1\\ y - 1 = 5 \\ z + 2 = -4 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 1\\ y = 6\\ z = -6 \end{cases} \] Donc le point $D$ a pour coordonnées $(1;6;-6)$.

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