Corrigé du 12 P. 63

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1. Voir la figure en haut de la page de l'exercice.

2.a. On a: \[\begin{aligned} \overrightarrow{OB} &= \frac 1 2 \overrightarrow{HB}& \\ &=\dfrac 1 2 \left(\overrightarrow{HF}+\overrightarrow{FB}\right)& \\ &=\dfrac 1 2 \overrightarrow{HF} + \dfrac 1 2 \overrightarrow{FB}& \\ &=-\dfrac 1 2 \overrightarrow{FH} - \dfrac 1 2 \overrightarrow{AE}.& \end{aligned}\]

2.b. La relation précédente prouve que les vecteurs $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{FH}$ sont coplanaires.

3. On remarque que $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{FB}$, donc: \[ \overrightarrow{OB} =-\dfrac 1 2 \overrightarrow{AE} - \dfrac 1 2 \overrightarrow{FH} =-\dfrac 1 2 \overrightarrow{FB} - \dfrac 1 2 \overrightarrow{FH}. \] Donc les vecteurs $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{FB}$ et $\overrightarrow{FH}$ sont coplanaires, ce qui montre que les points $O$, $B$, $F$ et $H$ le sont aussi.

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