Corrigé du 115 P. 47

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1. $\displaystyle\binom{32}{5} = 201\:376$.

Dans un jeu de cartes, la "couleur" est pique, trèfle, carreau ou cœur (et pas rouge ou noir). Dans la suite, j'appelle "valeur" d'une carte le fait qu'elle soit un sept, un huit, etc…

2.a. On choisit la valeur figurant dans le carré (8 possibilités) puis n'importe laquelle des 28 cartes restantes : \[8 \times 28 = 224.\]

2.b. Précision : On cherche ici le nombre de mains qui contiennent "au moins" un brelan. Les "full" sont donc comptés.
On choisit la valeur figurant dans le brelan (8 choix) puis la couleur de la carte qui ne sera pas dans le brelan (4 choix) puis n'importe quelle paire de carte parmi les 28 autres. \[8 \times 4 \times \binom{28}{2} = 8\times 4 \times 378 = 12\:096.\]

2.c. On choisit la valeur qui apparaîtra trois fois (8 possibilités) et la couleur de la carte qui n'apparaîtra pas (4 choix).
On choisit la carte qui apparaîtra deux fois (il reste 7 possibilité) et les deux couleurs qui apparaîtront: \[8 \times 4 \times 7 \times \binom{4}{2} = 8 \times 4 \times 7 \times 6 = 1\:344.\] Remarque : Le nombre de "vrais" brelans est donc : \[12\:096 - 1\:344 = 10\:752.\]

2.d. On choisit la valeur de la paire (8 choix) et les deux couleurs qui y figureront (2 parmi 4). On choisit ensuite les trois valeurs qui suivent, qui doivent toutes être différentes (3 parmi 7), sachant que chaque valeur choisie peut-être dans quatre couleurs : \[8 \times \binom{4}{2} \times \binom{7}{3} \times 4^3 = 107\:520.\]

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