Corrigé du 86 P. 44

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1. Les anagrammes de JACINTHE sont les permutations des 8 lettres qu'il contient. Il y en a donc : \[8! = 40\:320.\]

2.a. On a 5 choix pour la première lettre de l'anagramme (J, C, N, T ou H). On complète alors par une permutation des sept lettres restantes. Le nombre d'anagrammes est donc : \[5 \times 7! = 25\:200.\]

2.b. On choisit l'une des trois voyelles à mettre à la fin, et on fait précéder cette voyage de n'importe quelle permutation des 7 autres lettres. Le nombre d'anagrammes est donc : \[3 \times 7! = 15\:120.\]

2.c. On choisit la consonne de début (5 choix), la voyelle de fin (3 choix) et on complète par n'importe quelle permutation des six lettres restantes. Le nombre d'anagrammes est donc : \[5\times 3 \times 6! = 10\:800.\]

2.d. Le nombre d'anagrammes commençant par une voyelle est le même que le nombre d'anagrammes finissant par une voyelle: $15\:200$.
Pour fabriquer un anagrammes qui commence et se termine par une voyelle, on choisit la voyelle qui ne figurera ni au début ni à la fin (3 choix). Parmi les deux autres voyelles, on choisit celle qui sera au début (deux choix) et on complète par n'importe quelle permutation des six lettres non utilisées. Le nombre d'anagrammes commençant et terminant par une voyelle est donc : \[3\times 2 \times 6! = 4\:320.\] En additionnant le nombre d'anagrammes qui commencent par une voyelle avec celui de ceux qui se terminent par une voyelle, on compte deux fois ceux qui commencent et se terminent par une voyelle.
Le nombre d'anagrammes commençant ou se terminant par une voyelle est donc : \[15200 + 15200 - 4320 = 26\:080.\]

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