Corrigé du 73 P. 43

retour

1. Il a également 5 diagonales.

2. (Méthode 1.) Lorsque l'on relie entre-eux une paire de sommets du polygone, on obtient soit un côté, soit une diagonale.
Le nombre de diagonales s'obtient donc en soustrayant du nombre de paires de sommets le nombre de côtés du polygone.
Donc :
a. Nombre de diagonales d'un hexagone : \[\displaystyle\binom{6}{2}-6 = 15-6 = 9\;;\] b. Nombre de diagonales d'un heptagone : \[\displaystyle\binom{7}{2}-7 = 21 - 7 = 14\;;\] c. Nombre de diagonales d'un octogone: \[\displaystyle\binom{8}{2}-8 = 28 - 8 = 20\;;\] d. Nombre de diagonales d'un dodécagone : \[\displaystyle\binom{12}{2} = 66 - 12 = 54.\]

2. (Méthode 2.) Dans un polygône à $n$ sommet, on crée une diagonale en reliant un sommet à un autre sommet non contigü. On exclut donc 3 sommet (le sommet lui-même et ses deux voisins.
Donc si je relie chacun des $n$ sommets aux $n-3$ autres sommets qui ne lui sont pas contigüs, je trace toutes les diagonales deux fois (chacune d'elle étant parcourue dans les deux sens).
Le nombre de diagonales d'un polygone ayant $n$ côtés est donc \[\frac{n(n-3)}2.\] On en déduit que :
a. Nombre de diagonales d'un hexagone : \[\dfrac{6\times 3}2 = 9\;;\] b. Nombre de diagonales d'un heptagone : \[\dfrac{7\times 4}2 = 14;\] c. Nombre de diagonales d'un octogone : \[\dfrac{8\times 5}2 = 20\;;\] d. Nombre de diagonales d'un dodécagone : \[\dfrac{12\times 9}2 = 54.\]

retour