Corrigé du 67 P. 43

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a. Soit $L$ l'ensemble des lettres (de cardinal 26) et $C$ l'ensemble des chiffres (de cardinal 10).
Alors une immatriculation est un heptuplet de $L^2\times C^3\times L^2$.
Le nombre d'immatriculations possibles est donc \[\operatorname{card}(L^2\times C^3\times L^2) = 26^2\times 10^3\times 26^2 = 456\:976\:00.\]

b. Dorénavant, $L$ a pour cardinal $26 - 3 = 23$.
L'ensemble $L_G$ des groupes de lettres de gauche est $L_G = L^2\setminus\{(S,S),(W,W)\}$. Donc : \[\operatorname{card}(L_G) = 23^2 - 2 = 529 - 2 = 527.\] L'ensemble $C'$ des chiffres centraux est $C^3\setminus\{(0,0,0)\}$. Son cardinal est donc : \[\operatorname{card}(C') = 10^3 - 1 = 999.\] Enfin l'ensemble $L_D$ du groupe de lettres de droite est $L_D = L^2\setminus\{(S,S)\}$. Donc : \[\operatorname{card}(L_D) = 23^2 - 1 = 529 - 1 = 528.\] On peut désormais considérer une immatriculation comme un triplet de $L_G\times C' \times L_D$. Le nombre d'immatriculations est donc : \[\operatorname{card}(L_G\times C'\times L_D) = 527 \times 999 \times 528 = 277\:977\:744.\]

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