Corrigé du 125 P. 308

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1.a. Supposons x≥0. Alors \[\begin{aligned} x&\ge 0& \\ \implies x^2 &\ge 0& \\ \implies x^2 + 1&\ge 1 > 0& \\ \implies \sqrt{x^2 + 1} &> 0& \\ \implies x^2 + \sqrt{x^2 +1} &> 0.& \end{aligned}\] Donc dans ce cas, la fonction est bien définie.
Supposons maintenant x<0. On a : \[\begin{aligned} x + \sqrt{x^2 + 1} &= x + \sqrt{x^2\left( 1+\frac 1 {x^2}\right)}& \\ &=x + \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{1+\frac 1 {x^2}}& \\ &= x + \lvert x \rvert \cdot \sqrt{1+\frac 1 {x^2}}& \\ &=x - x\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}& \\ &=x\left(1 - \sqrt{1+\frac 1 {x^2}}\right).& \end{aligned}\] En effet, puisque x est négatif, |x|=−x.
Considérons les signes de chaque facteur de ce produit :

• x est strictement négatif. ;
• \begin{flalign*} &\frac 1 {x^2} > 0& \\ \implies &1+\frac 1 {x^2} > 1& \\ \implies &\sqrt{1+ \frac 1 {x^2}} > 1& \\ \implies &1 - \sqrt{1+\frac 1 {x^2}} < 0.& \end{flalign*} Donc ce produit est strictement positif et ici encore, la fonction est bien définie.

  1.b. \begin{flalign*} &f(x) + f(-x)& \\ &= \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) + \ln\left(-x + \sqrt{(-x)^2+1}\right)& \\ &=\ln\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)+\ln\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)& \\ &=\ln\left[\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\right]& \\ &=\ln\left[\left(\sqrt{x^2 + 1}\right)^2 - x^2\right]& \\ &=\ln\left(x^2 + 1 - x^2\right)& \\ &=\ln(1)=0.& \end{flalign*} Puisque, pour tout réel x, f(x)=−f(x), la fonction f est impaire et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.

  1.c. La dérivée de \[x\mapsto x + \sqrt{x^2 +1}\] est la fonction \[x\mapsto 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = 1+\frac x {\sqrt{x^2+1}}.\] Donc la dérivée de la fonction $f$ s'exprime par : \begin{flalign*} f'(x) &= \frac{1 + \frac x {\sqrt{x^2+1}}}{x + \sqrt{x^2 +1}}& \\ &=\frac{\frac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2 + 1}}& \\ &=\frac{x + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac 1 {x + \sqrt{x^2 + 1}}& \\ &=\frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2+1}(x+ \sqrt{x^2+1})}& \\ &\frac 1 {\sqrt{x^2 +1}}.& \end{flalign*}

  1.d. Avec une calculatrice :

  

  2.a. On admet que le point d'inflexion de f est l'origine du repère (vous avez vraiment envie de dériver $f'$ ?).
  Donc, au regard de la courbe de g, il faut que $x-x_0$ soit nul quand $x = 20$, donc que $x_0 = 20$ et il faut qu'alors $g(20)=7$ : \[y_0 + af(k\cdot 0) = 7 \implies y_0 + 0 = 7 \implies y_0 = 7.\]

  2.b. On voit sur la courbe que $g(16) = 2,8$, donc que : \begin{flalign*} &7 + af(432(16-20)) = 2,8& \\ \implies &af(-1728) = -4,2& \\ \implies &a = \frac{-4,2}{f(-1728)} \approx 0,5155.& \end{flalign*}

  2.c. Voir ci-dessous.

  
  Finalement, notre courbe ne ressemble pas beaucoup à la courbe cherchée !

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