Corrigé du 121 P. 307

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a. Pour tout $x\in[1;5]$: \begin{multline*} f_n'(x) = \frac{\frac 1 x \cdot x^n - \ln(x)\cdot nx^{n-1}}{(x^n)^2} =\frac{x^{n-1} - nx^{n-1}\ln(x)}{x^{2n}} \\=\frac{x^{n-1}(1 - n\ln(x))}{x^{2n}} =\frac{1-n\ln(x)}{x^{2n-(n-1)}} =\frac{1-n\ln(x)}{x^{n+1}}. \end{multline*}

b. Pour tout $x\in[1;5]$, $x^{n+1} > 0$. Donc $f_n'(x)$ est du signe de $1-n\ln(x)$. Or \begin{flalign*} &1 - n\ln(x) > 0& \\ \iff &-\ln(x) > -\frac 1 n& \\ \iff &\ln(x) < \frac 1 n& \\ \iff &x < \mathrm e^{\frac 1 n}.& \end{flalign*} et de même \begin{flalign*} &1 - n\ln(x) = 0& \\ \iff &-\ln(x) = -\frac 1 n& \\ \iff &\ln(x) = \frac 1 n& \\ \iff &x = \mathrm e^{\frac 1 n}.& \end{flalign*} Donc sur $[1;\mathrm e^{\frac 1 n}]$, $f_n'$ est positive, donc $f_n$ est croissante. Sur $[\mathrm e^{\frac 1 n};5]$, $f_n'$ est négative et donc $f_n$ est décroissante.
Le point $A_n$ a donc pour abscisse \[x_0 = \mathrm e^{\frac 1 n}.\] Son ordonnée est alors \[y_0 = f(x_0)=\frac{\ln(\mathrm e^{\frac 1 n})}{(\mathrm e^{\frac 1 n})^n} = \frac{\frac 1 n}{\mathrm e^1} = \frac 1 {n\mathrm e}.\] Vérifions que $A_n$ appartient bien à $R$: \[\frac 1 {\mathrm e} \ln(x_0) = \frac 1 {\mathrm e} \ln(\mathrm e^{\frac 1 n})=\frac 1 {\mathrm e}\cdot \frac 1 n = \frac 1 {n\mathrm e} = y_0.\] Donc $A_n$ appartient bien à la courbe $R$.

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