Corrigé du 120 P. 307
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1.a
Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par
\[g(x) = x - \ln(1+x).\]
$g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et pour tout $x$ de cet intervalle:
\[g'(x) =1 - \frac{1}{1+x} = \frac{1+x-1}{1+x} = \frac{x}{1+x}.\]
Puisque ici $x\ge 0$ on a $x+1>0$ donc $g'(x)$ est positive. On en déduit que la fonction $g$ est croissante sur $[0;+\infty[$.
Donc pour tout $x\in[0;+\infty[$
\[g(x) \geqslant g(0)
\implies
x - \ln(1+x) \geqslant 0
\implies
x \geqslant \ln(1+x).\]
1.b Si $x=\frac 1 n$: \begin{flalign*} &\ln(x + 1) \leqslant x& \\ \implies &\ln\left(\frac 1 n + 1\right) \leqslant \frac 1 n& \\ \implies &\ln\left(\frac{1+n}{n}\right) \leqslant \frac 1 n& \\ \implies &\ln(1+n) - \ln(n) \leqslant \frac 1 n& \\ \implies &\ln(1+n) \leqslant \ln(n) + \frac 1 n.& \end{flalign*}
2 Pour tout entier naturel $n$ non nul : \[ f\left(\ln(n)\right) =\ln(n)+\mathrm e^{-\ln(n)} =\ln(n) + \frac 1 {\mathrm e^{\ln(n)}} =\ln + \frac 1 n.\]
3.a
Remarque préalable : $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et
\[\forall x\in\mathbb R_+,\quad f'(x) = 1 - \mathrm e^{-x}.\]
Or
\begin{flalign*}
&x \geqslant 0 \implies -x \leqslant 0 \implies \mathrm e^{-x} \leqslant 1
\implies -\mathrm e^{-x} \geqslant -1
\\
&\implies 1 - \mathrm e^{-x} \geqslant 0
\implies f'(x) \geqslant 0.&
\end{flalign*}
La fonction $f$ est donc croissante sur $\mathbb R_+$.
Initialisation. $u_1 = 0$ et $\ln(1) = 0$ donc on a bien
\[\ln(1) \leqslant u_1.\]
Hérédité. Supposons maintenant que pour un entier naturel non nul
$n$ donné,
\[\ln(n)\leqslant u_n.\]
Puisque $f$ est croissante, cela implique que:
\[f\left(\ln(n)\right) \leqslant f(u_n).\]
Donc, d'après la question 2.
\[\ln(n) + \frac 1 n \leqslant u_{n+1}.\]
Mais d'après la question 1.
\[\ln(n+1) \leqslant \ln(n) + \frac 1 n \leqslant u_{n+1}.\]
On a donc bien
\[\ln(n+1) \leqslant u_{n+1}.\]
Par récurrence, pour tout entier naturel non nul $n$, on a prouvé que:
\[\ln(n) \leqslant u_n.\]
3.b Puisque la fonction $x\mapsto \ln(x)$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$: \[\lim_{n\to+\infty} \ln(n) = +\infty.\] Or pour tout $n\in\mathbb N^*$: \[u_n \geqslant \ln(n).\] Donc, par comparaison: \[\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty.\]
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