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Partie A

1.a. Trace de l'algorithme de Briggs : \[\begin{array}{|c|c|c|}\hline n & x & \lvert x - 1\rvert \\ \hline 0 & 2 & 1 \\ \hline 1 & 1,41421 & 0,41421 \\ \hline 2 & 1,18921 & 0,18921 \\ \hline 3 & 1,09051 & 0,09051 \\ \hline 4 & 1,04427 & 0,04427 \\ \hline 5 & 1,02190 & 0,02190 \\ \hline 6 & 1,01089 & 0,01089 \\ \hline 7 & 1,00543 & 0,00543 \\ \hline 8 & 1,00271 & 0,00271 \\ \hline 9 & 1,00135 & 0,00135 \\ \hline 10 & 1,00068 & 0,00068 \\ \hline \end{array}\] La valeur renvoyée est donc (approximativement) \[0,00068 \times 2^{10} \approx 0,69632.\]

1.b. \[\begin{array}{|c|c|c|} \hline n & x & \lvert x - 1\rvert \\ \hline 0 & 0,8 & 0,2 \\ \hline 1 & 0,89443 & 0,10557 \\ \hline 2 & 0,94574 & 0,05426 \\ \hline 3 & 0,97249 & 0,02751 \\ \hline 4 & 0,98615 & 0,01385 \\ \hline 5 & 0,99305 & 0,00695 \\ \hline 6 & 0,99652 & 0,00348 \\ \hline 7 & 0,99826 & 0,00174 \\ \hline 8 & 0,99913 & 0,00087 \\ \hline \end{array}\] La valeur renvoyée est donc, approximativement \[-0,00087 \times 2^8 \approx -0,22272.\]

2.a. Code Python :

Résultats affichés sur la console :

2.b. Il semble que |L−x|≈p.

Partie B

1.a. Initialisation. \[\frac 1 {2^0} \ln(u_0) = 1\cdot \ln(u_0) = \ln(u_0) = v_0\] Donc la relation est bien vérifiée au premier rang.
Hérédité. Supposons que pour n∈ℕ donné on ait bien \[v_n = \frac 1 {2^n}\ln(u_0).\] Alors \[\begin{aligned} v_{n+1} &= \ln(u_{n+1})& \\ &= \ln(\sqrt{u_n})& \\ &=\frac 1 2 \ln(u_n)& \\ &=\frac 1 2 \cdot \frac 1 {2^n}\ln(u_0)& \\ &=\frac 1 {2^{n+1}}\ln(u_0).& \end{aligned}\] Donc il y a bien hérédité.
En conclusion, pour tout entier naturel n, \[v_n = \dfrac 1 {2^n}\ln(u_0).\]

1.b. Puisque 2>1 : \[\lim_{n\to+\infty} 2^n = +\infty \implies \lim_{n\to+\infty} \frac 1 {2^n} = 0 \implies \lim_{n\to+\infty} \frac 1 {2^n}\ln(u_0) = 0. \] (la dernière limite est justifiée par le fait que $\ln(u_0)$ est une constante.)
Si $v_n = \ln(u_n)$, alors $u_n = \mathrm e^{v_n}$.
Sachant que : \begin{flalign*} &\lim_{n\to+\infty} v_n = 0& \\ &\lim_{x\to+0}\mathrm e^x = 1& \end{flalign*} on en déduit que \[\lim_{n\to+\infty}\mathrm e^{v_n} = 1.\]

1.c. Puisque la suite $(u_n)$ tend vers 1, quel que soit le réel $p$ positif, il existe un rang $n$ à partir duquel \[\lvert u_n - 1 \rvert \le p.\] À ce moment là, la boucle de l'algorithme s'arrête.

2.a. La limite \[\lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t) - \ln(1)} t\] n'est autre que le nombre dérivé de la fonction logarithme népérien en 1. Puisque la dérivée du logarithme népérien est la fonction inverse : \[\lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t) - \ln(1)} t = \frac 1 1 = 1.\]

2.b. Posons $t = u_n - 1$. Puisque $(u_n)$ tend vers 1, $t$, lui, tend bien vers 0. Donc pour $n$ assez grand \[\begin{aligned} &\frac{\ln(1+t) - \ln(1)}{t} \approx 1& \\ \implies &\frac{\ln(u_n) - 0}{u_n - 1} \approx 1& \\ \implies &\ln(u_n) \approx u_n - 1& \\ \implies &v_n \approx u_n - 1.& \end{aligned}\]

2.c. On sait que : \[v_n = \frac 1 {2^n} \ln(u_0) = \frac 1 {2^n} \ln(x) \implies \ln(x) = 2^nv_n.\] Et puisque l'on admet que $v_n \approx u_n - 1$: \[\ln(x) = 2^n (u_n - 1).\] Ce qui justifie la valeur renvoyée par l'algorithme.

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